Q 42 Considere equação 2 x^4-9 x^2+4=0. Verifique que x= pm 2 é solução desta equação. Utilizando o TVI, mostre que esta equação possui mais duas raízes: uma no intervalo (-1,0) e a outra no intervalo (0,1).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
f(x)=2x^4-9x^2+4=0
Verificar que x=pm2 são raízes e, usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI), mostrar que há mais duas raízes: uma em (-1,0) e outra em (0,1). Como f é polinomial, ela é contínua em R.

Passo 2

Vamos checar x=2 e x=-2.
f(2)=2cdot2^4-9cdot2^2+4=32-36+4=0,
f(-2)=2cdot(-2)^4-9cdot(-2)^2+4=32-36+4=0
Portanto, x=2 e x=-2 satisfazem f(x)=0.

Passo 3

Para aplicar o TVI em (-1,0), calculemos
f(-1)=2cdot(-1)^4-9cdot(-1)^2+4=2-9+4=-3<0,
f(0)=2cdot0^4-9cdot0^2+4=4>0
Como f é contínua e f(-1)cdot f(0)<0, existe pelo TVI um c1in(-1,0) tal que f(c1)=0.

Passo 4

Para aplicar o TVI em (0,1), observamos
f(0)=4>0,
f(1)=2cdot1^4-9cdot1^2+4=2-9+4=-3<0
De novo f(0)cdot f(1)<0 e, pela continuidade, existe um c2in(0,1) com f(c2)=0.

Resposta

As quatro raízes da equação
2x^4-9x^2+4=0
são
x=-2, x=2,e mais uma em (-1,0),e outra em (0,1),
sendo as últimas garantidas pelo Teorema do Valor Intermediário.

Exercícios relacionados