Q 43 Existe algum arco cujo cosseno seja igual ao próprio arco? Ou seja, existe algum x in R tal que cos (x)= x ? Utilize o TVI para mostrar que sim.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe algum xinR tal que cos(x)=x. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que diz que se uma função contínua muda de sinal num intervalo, então ela se anula em algum ponto interno.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=cos(x)-x
Como cos(x) é contínua em R e a função identidade xmapsto x também é contínua, segue que f é contínua em todo R.

Passo 3

Calculamos os valores de f em dois pontos:
f(0)=cos(0)-0=1>0,
fl(tfracpi2r)=cosl(tfracpi2r)-tfracpi2=0-tfracpi2=-tfracpi2<0
Logo, f(0)>0 e f(tfracpi2)<0.

Passo 4

Pelo TVI, como f é contínua em l[0,tfracpi2r] e muda de sinal entre as extremidades, existe cinl(0,tfracpi2r) tal que
f(c)=0
Isto é, cos(c)-c=0, ou seja cos(c)=c.

Resposta

Sim, existe pelo menos um xinl(0,tfracpi2r) tal que cos(x)=x.

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