Q 43 Existe algum arco cujo cosseno seja igual ao próprio arco? Ou seja, existe algum
tal que
? Utilize o TVI para mostrar que sim.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe algum
tal que
. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que diz que se uma função contínua muda de sinal num intervalo, então ela se anula em algum ponto interno.
Passo 2
Definimos a função
Como
é contínua em
e a função identidade
também é contínua, segue que
é contínua em todo
.
Passo 3
Calculamos os valores de
em dois pontos:
Logo,
e
.
Passo 4
Pelo TVI, como
é contínua em
e muda de sinal entre as extremidades, existe
tal que
Isto é,
, ou seja
.
Resposta
Sim, existe pelo menos um
tal que
.