Em cada um dos casos abaixo calcule lim x 0 f(x)
f(x)=sin (x+a)-sin (a)sin (x),

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0f(x) onde f(x)=sin(x+a)-sin(a)sin(x)
Percebemos que, ao substituir x=0, tanto o numerador quanto o denominador vão a zero, ou seja, temos uma forma indeterminada 00. Para resolver, podemos usar uma identidade trigonométrica ou a expansão em série de Taylor das funções seno.

Passo 2

Vamos usar a identidade de soma e diferença de senos:
sin(x+a)-sin(a) =2cosl(a+x2r),sinl(x2r)
Substituindo no numerador de f(x), temos
f(x) =2cosl(a+tfracx2r),sinl(tfracx2r) sin(x)
Agora use a identidade
sin(x)=2sinl(x2r)cosl(x2r),
então
f(x) =2cosl(a+tfracx2r),sinl(tfracx2r) 2sinl(tfracx2r)cosl(tfracx2r) =cosl(a+tfracx2r)cosl(tfracx2r)
À medida que xto0, temos cosl(a+tfracx2r)tocos(a) e cosl(tfracx2r)to1. Logo,

Resposta

limxto0f(x)=cos(a)

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