Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear T: K^n K^n dado por sua matriz [T]B é diagonalizável. Em caso positivo, calcule uma base de autovetores e a sua forma diagonal.
(ll1 & 1 1 & 1) K & =C n & =2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear T:C^2toC^2 com matriz na base B
[T]B = 1 & 11 & 1
é diagonalizável. Se for, vamos encontrar seus autovalores, uma base de autovetores e a forma diagonal resultante. Isso envolve:
1. calcular o polinômio característico;
2. extrair os autovalores;
3. achar os autovetores associados;
4. montar a matriz diagonal D e a base correspondente.

Passo 2

O polinômio característico de [T]B é
chi(lambda)=detl([T]B - lambda Ir) =det!1-lambda & 11 & 1-lambda =(1-lambda)^2 - 1
Desenvolvendo,
chi(lambda) = (1-lambda)^2 - 1 = 1 - 2lambda + lambda^2 - 1 = lambda^2 - 2lambda = lambda(lambda - 2)

Passo 3

Das raízes de chi(lambda)=lambda(lambda-2) obtemos os autovalores
lambda1 = 0, lambda2 = 2
Como são dois autovalores distintos em C, o operador é diagonalizável.

Passo 4

Para cada autovalor, resolvemos .
Para :
Um autovetor não trivial é .
Para :
Um autovetor não trivial é .
Os espaços próprios têm dimensão cada e somam , então formam uma base de .

Passo 5

Como há dois autovalores distintos e conseguimos dois autovetores linearmente independentes v1,v2, concluímos que T é diagonalizável. Na base v1,v2 a matriz de T é diagonal, com entradas os autovalores correspondentes.

Resposta

É diagonalizável. Uma base de autovetores é
,v1=(1,1),;v2=(1,-1),
e a forma diagonal de [T]B nessa base é
D = 2 & 0[6pt]0 & 0 ]

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