Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear dado por sua matriz é diagonalizável. Em caso positivo, calcule uma base de autovetores e a sua forma diagonal.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o operador linear T:C^2toC^2 com matriz na base B
[T]B = 1 & 11 & 1
é diagonalizável. Se for, vamos encontrar seus autovalores, uma base de autovetores e a forma diagonal resultante. Isso envolve: 1. calcular o polinômio característico; 2. extrair os autovalores; 3. achar os autovetores associados; 4. montar a matriz diagonal D e a base correspondente.
Das raízes de chi(lambda)=lambda(lambda-2) obtemos os autovalores
lambda1 = 0, lambda2 = 2
Como são dois autovalores distintos em C, o operador é diagonalizável.
Passo 4
Para cada autovalor, resolvemos .
Para :
Um autovetor não trivial é .
Para :
Um autovetor não trivial é .
Os espaços próprios têm dimensão cada e somam , então formam uma base de .
Passo 5
Como há dois autovalores distintos e conseguimos dois autovetores linearmente independentes v1,v2, concluímos que T é diagonalizável. Na base v1,v2 a matriz de T é diagonal, com entradas os autovalores correspondentes.