3.1 Calculando o rotacional encontre quais das seguintes forças são conservativas:
d) F=l x y+jmath y z+k z x

Passo 1

O enunciado nos dá a força overrightarrow F = overrightarrow imath,x y + overrightarrow jmath,y z + overrightarrow k,z x. O objetivo é determinar se overrightarrow F é conservativa. Em um domínio simplesmente conexo, isso ocorre se e somente se
nabla times overrightarrow F = 0

Passo 2

Identificamos as componentes escalares
P(x,y,z)=x y, Q(x,y,z)=y z, R(x,y,z)=z x
A definição do rotacional é
nabla times overrightarrow F =l(tfracpartial Rpartial y-tfracpartial Qpartial z,; tfracpartial Ppartial z-tfracpartial Rpartial x,; tfracpartial Qpartial x-tfracpartial Ppartial yr)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
tfracpartial Rpartial y=tfracpartial (z x)partial y=0, tfracpartial Qpartial z=tfracpartial (y z)partial z=y,
tfracpartial Ppartial z=tfracpartial (x y)partial z=0, tfracpartial Rpartial x=tfracpartial (z x)partial x=z,
tfracpartial Qpartial x=tfracpartial (y z)partial x=0, tfracpartial Ppartial y=tfracpartial (x y)partial y=x

Passo 4

Substituindo na definição do rotacional obtemos
nabla times overrightarrow F =l(0 - y,;0 - z,;0 - xr) =(-y,,-z,,-x)

Passo 5

Como nabla times overrightarrow Fneq 0 em geral e o domínio de overrightarrow F (todo R^3) é simplesmente conexo, concluímos que overrightarrow F não é conservativa.

Resposta

A força não é conservativa.

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