Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear dado por sua matriz é diagonalizável. Em caso positivo, calcule uma base de autovetores e a sua forma diagonal.
Passo 1
O enunciado fornece o operador linear Tcolon C^2toC^2 cuja matriz em alguma base B é
[T]B=1 & 00 & 0
Precisamos decidir se T é diagonalizável sobre C e, em caso afirmativo, encontrar uma base de autovetores e a forma diagonal.
Os autovalores são as raízes de chiT(lambda)=0, ou seja, lambda1=1 e lambda2=0.
Passo 3
Para , buscamos . Temos
A condição implica e livre. Logo o espaço próprio associado a é
Passo 4
Para , buscamos . Ou seja,
implica e livre. Então
Passo 5
Como encontramos dois autovalores distintos e cada um tem multiplicidade geométrica igual a 1, as dimensões somam 2. Portanto existem dois autovetores linearmente independentes, e T é diagonalizável.
Resposta
Sim. Uma base de autovetores é (1,0),(0,1) e, nessa base, a forma diagonal de T é