Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear T: K^n K^n dado por sua matriz [T]B é diagonalizável. Em caso positivo, calcule uma base de autovetores e a sua forma diagonal.
(ll1 & 0 0 & 0) & K=C & n=2

Passo 1

O enunciado fornece o operador linear Tcolon C^2toC^2 cuja matriz em alguma base B é
[T]B=1 & 00 & 0
Precisamos decidir se T é diagonalizável sobre C e, em caso afirmativo, encontrar uma base de autovetores e a forma diagonal.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de [T]B:
chiT(lambda)=detl([T]B-lambda Ir) =det1-lambda & 00 & -lambda =(1-lambda)(-lambda) =-lambda(1-lambda)
Os autovalores são as raízes de chiT(lambda)=0, ou seja, lambda1=1 e lambda2=0.

Passo 3

Para , buscamos . Temos
A condição implica e livre. Logo o espaço próprio associado a é

Passo 4

Para , buscamos . Ou seja,
implica e livre. Então

Passo 5

Como encontramos dois autovalores distintos e cada um tem multiplicidade geométrica igual a 1, as dimensões somam 2. Portanto existem dois autovetores linearmente independentes, e T é diagonalizável.

Resposta

Sim. Uma base de autovetores é (1,0),(0,1) e, nessa base, a forma diagonal de T é
1 & 0 0 & 0

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