2- Seja
um operador linear. Mostre que se
, então
tem no máximo
autovalores.
Passo 1
O enunciado diz que
é um operador linear sobre o corpo
e que
. Queremos mostrar que
não pode ter mais do que
autovalores. O conteúdo principal aqui é usar a relação entre dimensão do espaço, polinômio mínimo e número de raízes (autovalores).
Passo 2
Defina o subespaço
. Como
e
, o subespaço
é estável por
. Assim podemos considerar o operador restrito
Passo 3
No espaço
de dimensão
, o polinômio característico de
tem grau
. Logo, o polinômio mínimo de
também tem grau no máximo
. Seja
com
, o polinômio mínimo de
. Então
isto é,
para todo
.
Passo 4
Defina o polinômio
de grau
. Para qualquer
temos duas possibilidades:
- Se
, então . - Se
, então e portanto , de onde .
Assim,em todo , mostrando que o polinômio mínimo de divide e tem grau .
Passo 5
Como os autovalores de
são raízes do polinômio mínimo e esse tem grau no máximo
, concluímos que
tem no máximo
autovalores distintos.