2- Seja T: V longrightarrow V um operador linear. Mostre que se dimK Im T=m, então T tem no máximo m+1 autovalores.

Passo 1

O enunciado diz que Tcolon Vto V é um operador linear sobre o corpo K e que dimKIm T = m. Queremos mostrar que T não pode ter mais do que m+1 autovalores. O conteúdo principal aqui é usar a relação entre dimensão do espaço, polinômio mínimo e número de raízes (autovalores).

Passo 2

Defina o subespaço U = Im T. Como dim U = m e T(U) = Im(T^2)subseteqIm T = U, o subespaço U é estável por T. Assim podemos considerar o operador restrito
TUcolon U longrightarrow U

Passo 3

No espaço U de dimensão m, o polinômio característico de TU tem grau m. Logo, o polinômio mínimo de TU também tem grau no máximo m. Seja
q(lambda)=a0 + a1lambda + cdots + aklambda^k,
com k<= m, o polinômio mínimo de TU. Então
q(TU)=0 em U,
isto é, q(T)(y)=0 para todo yinIm T.

Passo 4

Defina o polinômio
r(lambda)=lambda,q(lambda)
de grau <= m+1. Para qualquer xin V temos duas possibilidades:
  1. Se T(x)=0, então r(T)x = T,q(T)x = T(0)=0.
  2. Se T(x)neq0, então T(x)inIm T e portanto q(T)l(T(x)r)=0, de onde r(T)x=0.
    Assim, r(T)=0 em todo V, mostrando que o polinômio mínimo de T divide r e tem grau <= m+1.

Passo 5

Como os autovalores de T são raízes do polinômio mínimo e esse tem grau no máximo m+1, concluímos que T tem no máximo m+1 autovalores distintos.

Resposta

T tem no máximo m+1 autovalores.

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