Em cada um dos casos abaixo, decida se o triângulo A B C tem um ângulo obtuso, um ângulo reto ou se seus três ângulos são agudos:
A=(0,0,0), B=(0,10,5), C=(-3,5,7)

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas de um triângulo em R^3:
A=(0,0,0), B=(0,10,5), C=(-3,5,7),
e pede para classificar se ele tem ângulo obtuso, reto ou todos agudos.
Conteúdo: usamos o teste via comprimentos dos lados e a conversão do Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Calcular os vetores correspondentes aos lados do triângulo:
AB = B - A = (0,10,5),
AC = C - A = (-3,5,7),
BC = C - B = (-3,-5,2)

Passo 3

Calcular o quadrado das normas desses vetores (ou seja, os comprimentos ao quadrado):
|AB|^2 = 0^2 + 10^2 + 5^2 = 100 + 25 = 125,
|AC|^2 = (-3)^2 + 5^2 + 7^2 = 9 + 25 + 49 = 83,
|BC|^2 = (-3)^2 + (-5)^2 + 2^2 = 9 + 25 + 4 = 38

Passo 4

Para classificar o triângulo, identificamos o maior dos três quadrados de comprimento:
max125,;83,;38 = 125
Pelo teste da desigualdade de Pitágoras inversa:
  • Se o maior quadrado for igual à soma dos outros dois, o triângulo é retângulo.
  • Se for menor, é agudo.
  • Se for maior, é obtuso.
Aqui 125 > 83 + 38 = 121, logo o triângulo tem um ângulo obtuso (em C, pois o lado oposto a C é o maior).

Resposta

O triângulo ABC é obtuso.

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