Sejam
e
três
-espaços vetoriais. Mostre que a função
definida por
é bilinear.
Passo 1
O enunciado diz que temos três espaços vetoriais sobre o mesmo corpo
:
,
e
. Definimos
O que precisamos mostrar é que
é bilinear, ou seja, linear em cada argumento quando o outro fica fixo.
Passo 2
Recordando a definição, uma aplicação
entre espaços vetoriais é bilinear se, para todo , a aplicação
é linear em , e para todo
, a aplicação
é linear em .
entre espaços vetoriais é bilinear se, para todo
é linear em
é linear em
Passo 3
Verificação de linearidade em
(com
fixo).
- Aditividade: dados
,
- Homogeneidade: para
e ,
Logo
é linear em
.
Passo 4
Verificação de linearidade em
(com
fixo).
- Aditividade: dados
,
- Homogeneidade: para
e ,
Logo
é linear em
.
Resposta
A composição
satisfaz a aditividade e homogeneidade em cada argumento, portanto é bilinear.