Sejam U, V e W três K-espaços vetoriais. Mostre que a função varphi: L(U, V) times L(V, W) L(U, W) definida por varphi(T, S)=S circ T é bilinear.

Passo 1

O enunciado diz que temos três espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K: U, V e W. Definimos
varphicolon L(U,V)times L(V,W)to L(U,W), varphi(T,S)=Scirc T
O que precisamos mostrar é que varphi é bilinear, ou seja, linear em cada argumento quando o outro fica fixo.

Passo 2

Recordando a definição, uma aplicação
varphicolon Xtimes Yto Z
entre espaços vetoriais é bilinear se, para todo Sin Y, a aplicação
varphi(cdot,S)colon Xto Z
é linear em X, e para todo Tin X, a aplicação
varphi(T,cdot)colon Yto Z
é linear em Y.

Passo 3

Verificação de linearidade em T (com S fixo).
  1. Aditividade: dados T1,T2in L(U,V),
varphi(T1+T2,S) = Scirc (T1+T2) = Scirc T1 + Scirc T2 = varphi(T1,S) + varphi(T2,S)
  1. Homogeneidade: para lambdainK e Tin L(U,V),
varphi(lambda T,S) = Scirc (lambda T) = lambda,(Scirc T) = lambda,varphi(T,S)
Logo varphi(cdot,S) é linear em L(U,V).

Passo 4

Verificação de linearidade em S (com T fixo).
  1. Aditividade: dados S1,S2in L(V,W),
varphi(T,S1+S2) = (S1+S2)circ T = S1circ T + S2circ T = varphi(T,S1) + varphi(T,S2)
  1. Homogeneidade: para muinK e Sin L(V,W),
varphi(T,mu S) = (mu S)circ T = mu,(Scirc T) = mu,varphi(T,S)
Logo varphi(T,cdot) é linear em L(V,W).

Resposta

A composição varphi(T,S)=Scirc T satisfaz a aditividade e homogeneidade em cada argumento, portanto é bilinear.

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