Em cada um dos casos abaixo, determine se o conjunto é ortonormal, apenas ortogonal ou nenhum dos dois.
(a) u, v, w subset R^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores em R^3 é ortonormal, ortogonal ou nenhum dos dois. Vamos usar produto interno para testar ortogonalidade e normas para testar normalização.

Passo 2

Calculamos os produtos internos entre cada par de vetores:
u cdot v = 1cdot1 + 2cdot(-1) + 1cdot1 = 0
u cdot w = 1cdot(-1) + 2cdot1 + 1cdot2 = 3
v cdot w = 1cdot(-1) + (-1)cdot1 + 1cdot2 = 0

Passo 3

Como ucdot wneq0, já falha a ortogonalidade completa. Para confirmar que não é ortonormal, calculamos as normas:
|u| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz6
|v| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz3
|w| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 2^2 = raiz6

Passo 4

Para ser ortogonal, todos os produtos internos teriam de ser zero, mas ucdot w=3. Logo não é ortogonal. E como nenhuma norma é 1, também não é ortonormal.

Resposta

O conjunto não é ortogonal nem ortonormal.

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