Determine a norma de cada um dos seguintes elementos:
(b) f(t)=t^2+t-1, em relação ao produto interno lang<= f, grang<==integral0^1 f(t) g(t) d t sobre P2(R).

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar a norma do polinômio f(t)=t^2+t-1 no espaço P2( R) com o produto interno lang<= f,grang<==integral0^1 f(t)g(t),dt. O conteúdo aqui é norm induced por produto interno, ou seja |f|=raizlang<= f,frang<=. Vamos precisar calcular lang<= f,frang<==integral0^1[f(t)]^2dt e depois tirar raiz.

Passo 2

Primeiro expandimos o quadrado do polinômio:
f(t)^2=(t^2+t-1)^2=t^4+2t^3- t^2-2t+1

Passo 3

Em seguida, usamos a regra de integração monômio a monômio sobre [0,1]:
integral0^1 t^4,dt=15, integral0^1 2t^3,dt=2cdot14=12, integral0^1(-t^2),dt=-13, integral0^1(-2t),dt=-2cdot12=-1, integral0^1 1,dt=1

Passo 4

Somando tudo:
lang<= f,frang<==15+12-13-1+1=1130

Passo 5

Por fim, a norma é a raiz quadrada desse valor.

Resposta

|f|=raizdfrac1130

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