Determine a base ortonormal de R^3 obtida pelo processo de Gram-Schmidt a partir da base u, v, w em cada um dos seguintes casos:
(a) u=(2,6,3), v=(-5,6,24), w=(9,-1,-4)

Passo 1

O enunciado pede para, usando o processo de Gram–Schmidt, gerar uma base ortonormal de R^3 a partir da base u,v,w, onde u=(2,6,3), v=(-5,6,24) e w=(9,-1,-4). Vamos precisar usar definições de projeção de vetores e norma em R^3.

Passo 2

Começamos definindo e1 = u/|u|. Calculamos a norma de u:
|u| = raiz2^2 + 6^2 + 3^2 = raiz4 + 36 + 9 = raiz49 = 7
Logo,
e1 = 17(2,6,3) = l(tfrac27,tfrac67,tfrac37r)

Passo 3

Para obter o segundo vetor ortogonal u2, subtraímos de v sua projeção sobre e1:
proje1(v) = (vcdot e1),e1,
onde
vcdot e1 = -5cdottfrac27 + 6cdottfrac67 + 24cdottfrac37 = -10 + 36 + 727 = 987 = 14
Assim,
u2 = v - 14,e1 = (-5,6,24) - (4,12,6) = (-9,-6,18)
Em seguida normalizamos:
|u2| = raiz(-9)^2 + (-6)^2 + 18^2 = raiz81 + 36 + 324 = raiz441 = 21,
e2 = 121(-9,-6,18) = l(-tfrac37,-tfrac27,tfrac67r)

Passo 4

Para o terceiro vetor ortogonal u3, subtraímos de w as projeções sobre e1 e e2:
Primeiro,
wcdot e1 = 9cdottfrac27 + (-1)cdottfrac67 + (-4)cdottfrac37 = 0,
logo proje1(w)=0. Depois,
wcdot e2 = 9l(-tfrac37r) + (-1)l(-tfrac27r) + (-4)l(tfrac67r) = -7,
então
u3 = w - (-7) e2 = (9,-1,-4) + (3,2,-6) = (6,-3,2)
Normalizando:
|u3| = raiz6^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz36 + 9 + 4 = raiz49 = 7,
e3 = 17(6,-3,2) = l(tfrac67,-tfrac37,tfrac27r)

Resposta

A base ortonormal obtida é
l,(tfrac27,tfrac67,tfrac37),;(-tfrac37,-tfrac27,tfrac67),;(tfrac67,-tfrac37,tfrac27)r

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