Dê exemplo de uma seqüência \left{a_{n}\right}, não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(e) não limitada e não monótona

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de sequência an que não seja constante, que não seja limitada (ou seja, seus termos podem crescer sem fronteira) e que não seja monótona (não cresce nem decresce de forma contínua).

Passo 2

Uma escolha simples é
an = (-1)^n,n
Essa sequência não é constante porque alterna de sinal e o valor absoluto cresce com n.

Passo 3

Para ver que an não é limitada, note que
|an| = |(-1)^n,n| = n,
e como ntoinfty, temos |an|toinfty. Logo não existe M>0 tal que |an|<= M para todo n.

Passo 4

Para ver que não é monótona, basta observar dois termos consecutivos:
a2k = (+1),2k = 2k, a2k+1 = (-1),(2k+1) = -,(2k+1)
Então a2k=2k>0 e a2k+1=-(2k+1)<0, ou seja, a sequência sobe de a2k-1 para a2k e depois desce de a2k para a2k+1. Logo não há nem crescimento nem decrescimento contínuo.

Resposta

Um exemplo é
an = (-1)^n,n,
que é não constante, não limitada e não monótona.

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