Em cada um dos casos abaixo determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função dada por y=f(x) no ponto (x0, f(x0)).
f(x)=x(x^2-1), x0=0,

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f(x)=x(x^2-1) no ponto l(x0,f(x0)r) com x0=0. Para isso vamos:
  1. Calcular f(0) para obter o ponto.
  2. Determinar f'(x) e avaliar em x=0 para achar o coeficiente angular da tangente.
  3. Usar a fórmula da reta tangente y-y0=mt(x-x0).
  4. Calcular o coeficiente angular da normal como mn=-1/mt.
  5. Usar a fórmula da reta normal y-y0=mn(x-x0).

Passo 2

Calcular o valor de f em x0=0:
f(0)=0cdotl(0^2-1r)=0
O ponto do gráfico é l(0,0r).

Passo 3

Determinar a derivada de f:
f(x)=x^3 - x Longrightarrow f'(x)=3x^2-1
Em x=0 temos
f'(0)=3cdot0^2-1=-1
Logo, o coeficiente angular da reta tangente é mt=-1.

Passo 4

Aplicar a fórmula da reta tangente em l(x0,y0r)=(0,0) com mt=-1:
y-0 = -1,(x-0) Longrightarrow y=-x

Passo 5

O coeficiente angular da reta normal é o negativo do inverso de mt:
mn = -1mt = -1-1=1
Usando a fórmula da reta normal em (0,0):
y-0 = 1,(x-0) Longrightarrow y = x

Resposta

Reta tangente: y = -x.
Reta normal: y = x.

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