Em cada um dos casos abaixo, determine as raízes reais da função quadrática, o ponto de máximo/mínimo, o conjunto Imagem e esboce seu gráfico.
j(x)=-x^2-6 x-10

Passo 1

No enunciado temos a função quadrática j(x) = -x^2 - 6x - 10. O conteúdo aqui é estudo de funções quadráticas e vamos precisar identificar os coeficientes, calcular o discriminante para as raízes, usar a fórmula do vértice para ponto de máximo/mínimo, determinar a imagem e, por fim, esboçar o gráfico.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma geral ax^2 + bx + c: aqui a = -1, b = -6 e c = -10. Esses valores são essenciais para o cálculo do discriminante e do vértice.

Passo 3

Calculamos o discriminante com De. Substituindo temos
De
Como De, concluímos que não existem raízes reais para j(x).

Passo 4

Determinação do vértice: a abscissa do vértice é dada por xv = -b2a. Logo
xv = --62 cdot (-1) = 6-2 = -3

Passo 5

Para achar a ordenada, calculamos j(xv):
j(-3) = -(-3)^2 - 6 cdot (-3) - 10 = -9 + 18 - 10 = -1

Passo 6

Assim o vértice é V(-3, -1). Como a = -1 < 0, esse vértice é um ponto de máximo.
O conjunto Imagem de uma parábola com concavidade para baixo e valor máximo -1 é
Im(j) = (-infty, -1]

Passo 7

Esboço do gráfico: é uma parábola voltada para baixo, com vértice em (-3, -1). Ela intercepta o eixo y em j(0) = -10 e tende a -infty quando x to pminfty.

Resposta

Não há raízes reais; ponto de máximo em V(-3, -1); Imagem = (-∞, -1]; esboço: parábola voltada para baixo com vértice em (-3, -1) e intercepto em (0, -10).

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