Dê o gráfico das seguintes funções:
(a) f(x)=|x|
(b) g(x)=|x|+1
© h(x)=|x|-2
(d) j(x)=||x|-2|+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente desenhar os gráficos de quatro funções diferentes envolvendo o valor absoluto. A matéria que a gente vai usar aqui é de funções, especificamente o valor absoluto. Vamos precisar entender como o valor absoluto funciona e como as transformações (como adicionar ou subtrair números) afetam o gráfico da função básica $ f(x) = |x| $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o gráfico da função básica $ f(x) = |x| $. O valor absoluto transforma qualquer número em seu valor positivo, então o gráfico dessa função é um “V” que tem o vértice na origem (0,0). Isso porque, para qualquer $ x $, $ |x| $ é sempre positivo ou zero. Então, o gráfico tem duas retas que se encontram no ponto (0,0): uma subindo com inclinação positiva e outra descendo com inclinação negativa.

Passo 3

Agora, vamos para a função (a) $ f(x) = |x| $. Como já vimos, o gráfico dessa função é aquele “V” com o vértice na origem. Sem transformações, ele é simétrico em relação ao eixo y e se estende para cima indefinidamente.

Passo 4

Passando para a função (b) $ g(x) = |x| + 1 $. Aqui, estamos adicionando 1 ao valor absoluto. O que isso faz é transladar o gráfico da função $ |x| $ para cima em 1 unidade. Então, em vez do vértice estar em (0,0), ele estará em (0,1). O formato do “V” permanece o mesmo, apenas deslocado para cima.

Passo 5

Agora, vamos para a função © $ h(x) = |x| - 2 $. Nesse caso, estamos subtraindo 2 do valor absoluto. Isso faz com que o gráfico da função $ |x| $ se desloque para baixo em 2 unidades. O vértice agora ficará em (0,-2). O formato do “V” continua igual, só que está mais baixo no plano.

Passo 6

Finalmente, temos a função (d) $ j(x) = ||x| - 2| + 1 $. Vamos quebrar isso passo a passo:
  1. Primeiro, olhamos para $ |x| $, que é nosso “V” básico.
  2. Depois, subtraímos 2, obtendo $ |x| - 2 $. Isso desloca o gráfico para baixo, com vértice em (0,-2).
  3. Agora, aplicamos o valor absoluto novamente: $ ||x| - 2| $. Isso vai “reforçar” o valor absoluto, criando um novo “V” onde a parte que estava abaixo do eixo y é refletida para cima. O vértice desse novo “V” fica em (0,2).
  4. Por último, adicionamos 1: $ ||x| - 2| + 1 $. Isso desloca todo o gráfico para cima mais 1 unidade, então o vértice final fica em (0,3).

Resposta

Resumindo, os gráficos das funções são:
(a) $ f(x) = |x| $: Um “V” com vértice na origem (0,0).
(b) $ g(x) = |x| + 1 $: O mesmo “V” deslocado 1 unidade para cima, vértice em (0,1).
© $ h(x) = |x| - 2 $: O “V” deslocado 2 unidades para baixo, vértice em (0,-2).
(d) $ j(x) = ||x| - 2| + 1 $: Um “V” mais elaborado, com vértice final em (0,3), resultado de várias transformações aplicadas ao valor absoluto.

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