Em cada um dos casos abaixo, determine as raízes reais da função quadrática, o ponto de máximo/mínimo, o conjunto Imagem e esboce seu gráfico.
k(x)=-x^2+6 x-9

Passo 1

Temos a função quadrática k(x) = -x^2 + 6x - 9. O conteúdo é estudo de funções do segundo grau, e vamos precisar calcular o discriminante para achar as raízes, usar a fórmula do vértice para o ponto de máximo, determinar a imagem com base no coeficiente principal e, por fim, esboçar o gráfico.

Passo 2

O discriminante é dado por De. Aqui a = -1, b = 6 e c = -9. Calculamos:
De

Passo 3

Como De, há apenas uma raiz real (de multiplicidade 2). As raízes vêm da fórmula
x = -b pm raizDe

Passo 4

Substituindo os valores:
x = -6 pm 02cdot(-1) = -6-2 = 3

Passo 5

Logo, a única raiz real é x = 3 (raiz dupla). O vértice da parábola está em
xv = -b2a = -62cdot(-1) = 3

Passo 6

Para encontrar yv, calculamos k(3):
k(3) = -(3)^2 + 6cdot3 - 9 = -9 + 18 - 9 = 0

Passo 7

Então o vértice é (3,0) e, como a = -1 < 0, é um ponto de máximo. A imagem da função é todos os valores de y até o máximo 0, ou seja:
Im(k) = (-infty,,0]

Passo 8

O esboço do gráfico é uma parábola voltada para baixo, que tangencia o eixo x em (3,0) (raiz dupla) e intercepta o eixo y em k(0) = -9, alcançando seu valor máximo em (3,0).

Resposta

Raiz real: x = 3 (raiz dupla); Vértice (máximo): (3, 0); Imagem: (-∞, 0]; Gráfico: parábola voltada para baixo que tangencia o eixo x em (3,0) e passa por (0,-9).

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