Em cada um dos casos abaixo, determine as raízes reais da função quadrática, o ponto de máximo/mínimo, o conjunto Imagem e esboce seu gráfico.
Passo 1
Temos a função quadrática
. O conteúdo é estudo de funções do segundo grau, e vamos precisar calcular o discriminante para achar as raízes, usar a fórmula do vértice para o ponto de máximo, determinar a imagem com base no coeficiente principal e, por fim, esboçar o gráfico.
Passo 2
O discriminante é dado por
. Aqui
,
e
. Calculamos:
Passo 3
Como
, há apenas uma raiz real (de multiplicidade 2). As raízes vêm da fórmula
Passo 4
Substituindo os valores:
Passo 5
Logo, a única raiz real é
(raiz dupla). O vértice da parábola está em
Passo 6
Para encontrar
, calculamos
:
Passo 7
Então o vértice é
e, como
, é um ponto de máximo. A imagem da função é todos os valores de
até o máximo
, ou seja:
Passo 8
O esboço do gráfico é uma parábola voltada para baixo, que tangencia o eixo
em
(raiz dupla) e intercepta o eixo
em
, alcançando seu valor máximo em
.
Resposta
Raiz real: x = 3 (raiz dupla); Vértice (máximo): (3, 0); Imagem: (-∞, 0]; Gráfico: parábola voltada para baixo que tangencia o eixo x em (3,0) e passa por (0,-9).