Encontre a solução geral da equação diferencial:
utilizando o método de variação de parâmetros para encontrar a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. O objetivo é encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular. Para isso, vamos usar o método de variação de parâmetros. Vamos precisar conhecer as soluções da equação homogênea $ y’’ + y = 0 $ e aplicar a variação de parâmetros para achar a solução específica que resolve a equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é uma combinação linear das funções seno e cosseno. Portanto, as soluções são:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular ($ y_p $) para a equação original:
Vamos usar o método de variação de parâmetros, que envolve encontrar funções $ u_1(x) $ e $ u_2(x) $ tais que:
Passo 4
Para aplicar a variação de parâmetros, precisamos calcular as derivadas de $ y_p $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
No entanto, para simplificar, impomos a condição:
Isso simplifica a expressão para:
E a segunda derivada fica:
Passo 5
Substituindo $ y_p $ e $ y_p’’ $ na equação original $ y’’ + y = \tan x $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações para $ u_1’ $ e $ u_2’ $:
- $ u_1’ \cos x + u_2’ \sin x = 0 $
- $ -u_1’ \sin x + u_2’ \cos x = \tan x $
Podemos resolver esse sistema para encontrar $ u_1’ $ e $ u_2’ $.
Passo 7
Multiplicando a primeira equação por $ \cos x $ e a segunda por $ \sin x $ e somando, temos:
Simplificando:
Usando identidades trigonométricas:
Isso pode complicar, então vamos resolver o sistema de outra forma.
Passo 8
Vamos usar determinantes (Regra de Cramer) para resolver o sistema:
O determinante do sistema é:
Então:
Passo 9
Agora, vamos integrar $ u_1’ $ e $ u_2’ $ para encontrar $ u_1 $ e $ u_2 $:
Para $ u_1 $:
Usando a identidade $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $:
Integrando:
Podemos ignorar a constante $ C $ aqui, pois ela será absorvida nas constantes gerais da solução.
Para $ u_2 $:
Novamente, ignoramos a constante.
Passo 10
Agora que temos $ u_1 $ e $ u_2 $, podemos escrever a solução particular $ y_p $:
Simplificando:
Passo 11
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.