Encontre a solução geral da equação diferencial:
y^prime prime+y=tan x
utilizando o método de variação de parâmetros para encontrar a solução particular.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
y'' + y = tan x
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. O objetivo é encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular. Para isso, vamos usar o método de variação de parâmetros. Vamos precisar conhecer as soluções da equação homogênea $ y’’ + y = 0 $ e aplicar a variação de parâmetros para achar a solução específica que resolve a equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + y = 0
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é uma combinação linear das funções seno e cosseno. Portanto, as soluções são:
yh(x) = C1 cos x + C2 sin x
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ($ y_p $) para a equação original:
yp
Vamos usar o método de variação de parâmetros, que envolve encontrar funções $ u_1(x) $ e $ u_2(x) $ tais que:
y'' + y = tan x

Passo 4

Para aplicar a variação de parâmetros, precisamos calcular as derivadas de $ y_p $:
Primeira derivada:
yp
Segunda derivada:
yp' = u1' cos x - u1 sin x + u2' sin x + u2 cos x
No entanto, para simplificar, impomos a condição:
yp'' = u1'' cos x - 2u1' sin x - u1 cos x + u2'' sin x + 2u2' cos x - u2 sin x
Isso simplifica a expressão para:
u1' cos x + u2' sin x = 0
E a segunda derivada fica:
yp' = -u1 sin x + u2 cos x

Passo 5

Substituindo $ y_p $ e $ y_p’’ $ na equação original $ y’’ + y = \tan x $:
yp
Simplificando:
yp''

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações para $ u_1’ $ e $ u_2’ $:
  1. $ u_1’ \cos x + u_2’ \sin x = 0 $
  2. $ -u_1’ \sin x + u_2’ \cos x = \tan x $
Podemos resolver esse sistema para encontrar $ u_1’ $ e $ u_2’ $.

Passo 7

Multiplicando a primeira equação por $ \cos x $ e a segunda por $ \sin x $ e somando, temos:
cos x
Simplificando:
sin x
Usando identidades trigonométricas:
u1' cos^2 x + u2' sin x cos x - u1' sin^2 x + u2' sin x cos x = 0 + tan x sin x
Isso pode complicar, então vamos resolver o sistema de outra forma.

Passo 8

Vamos usar determinantes (Regra de Cramer) para resolver o sistema:
u1' cos x + u2' sin x = 0 - u1' sin x + u2' cos x = tan x
O determinante do sistema é:
D = cos x cdot cos x - (-sin x) cdot sin x = cos^2 x + sin^2 x = 1
Então:
u1' = 0 cdot cos x - sin x cdot tan x1 = -sin x cdot tan x = -sin x cdot sin xcos x = -sin^2 xcos x
u2' = cos x cdot tan x - (-sin x) cdot 01 = cos x cdot tan x = cos x cdot sin xcos x = sin x

Passo 9

Agora, vamos integrar $ u_1’ $ e $ u_2’ $ para encontrar $ u_1 $ e $ u_2 $:
Para $ u_1 $:
u1'
Usando a identidade $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $:
u2'
Integrando:
u1
Podemos ignorar a constante $ C $ aqui, pois ela será absorvida nas constantes gerais da solução.
Para $ u_2 $:
u2
Novamente, ignoramos a constante.

Passo 10

Agora que temos $ u_1 $ e $ u_2 $, podemos escrever a solução particular $ y_p $:
u1
Simplificando:
u2

Passo 11

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 cos x + C2 sin x - cos x ln |sec x + tan x|

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 cos x + C2 sin x - cos x ln |sec x + tan x|
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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