Como discutimos em aula, o problema da inversão de matrizes quadradas recai em um sistema de equações lineares. Em cada um dos casos abaixo, obtenha o sistema linear de que estamos falando e decida se a matriz em questão é inversível ou não. Em caso afirmativo, exiba a inversa
b)
Passo 1
O enunciado pede que obtenhamos o sistema linear correspondente ao problema de inversão da matriz e decidamos se a matriz é inversível; em caso afirmativo, apresentar a inversa. A matriz dada é
As perguntas claras são: (1) qual é o(s) sistema(s) linear(es) que definem a inversa de
? (2)
é inversível? (3) se for, qual é
?]
Passo 2
Definição importante (explicando com calma): uma matriz
é inversível quando existe uma matriz
tal que
onde
é a matriz identidade
. Escrevendo
como colunas,
, a igualdade
equivale aos dois sistemas lineares
onde
e
são as colunas da identidade. Ou seja: para encontrar
temos de resolver dois sistemas da forma
vetor canônico.
Passo 3
Vamos escrever explicitamente o primeiro sistema para a primeira coluna
Aqui cada equação vem da multiplicação das linhas de
: por exemplo, a primeira linha de
é
, e seu produto escalar com
deve dar
.]
Passo 4
Resolvendo o sistema do Passo 3 de forma elementar e didática: podemos simplificar cada equação dividindo por um fator comum.
Agora observamos que as duas equações reduzidas dizem que
é ao mesmo tempo
e
. Isso é uma contradição: não existe nenhum par
que satisfaça as duas equações simultaneamente. Conclusão: o sistema
não tem solução.
Passo 5
Interpretação e confirmação por determinante (aqui eu te explico o conceito): para uma matriz
o determinante é
. Esse número é fundamental: se
a matriz é inversível; se
a matriz não tem inversa. Vamos calcular o determinante de
:
Como o determinante é
, isso confirma que
não é inversível.
Passo 6
Intuição geométrica/linear (explicando com linguagem simples): as colunas de
são
e
. Note que
ou seja, as colunas são proporcionais (linearmente dependentes). Isso significa que a transformação linear associada a
“sai” do plano para uma reta — ela não é bijetora — e portanto não existe uma transformação inversa: não há
.