Como discutimos em aula, o problema da inversão de matrizes quadradas recai em um sistema de equações lineares. Em cada um dos casos abaixo, obtenha o sistema linear de que estamos falando e decida se a matriz em questão é inversível ou não. Em caso afirmativo, exiba a inversa
b)
B=\left[\begin{array}{ll}6 & 3 \\\ 8 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede que obtenhamos o sistema linear correspondente ao problema de inversão da matriz e decidamos se a matriz é inversível; em caso afirmativo, apresentar a inversa. A matriz dada é
B=\begin{pmatrix}6 & 3 \\[4pt] 8 & 4\end{pmatrix}.
As perguntas claras são: (1) qual é o(s) sistema(s) linear(es) que definem a inversa de B? (2) B é inversível? (3) se for, qual é B^{-1}?]

Passo 2

Definição importante (explicando com calma): uma matriz B é inversível quando existe uma matriz X tal que
B X = I,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Escrevendo X como colunas, X=[x^{(1)}\; x^{(2)}], a igualdade B X = I equivale aos dois sistemas lineares
B\,x^{(1)} = e_1 \qquad\text{e}\qquad B\,x^{(2)} = e_2,
onde e_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e e_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} são as colunas da identidade. Ou seja: para encontrar B^{-1} temos de resolver dois sistemas da forma Bv= vetor canônico.

Passo 3

Vamos escrever explicitamente o primeiro sistema para a primeira coluna x^{(1)}=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}\) satisfazendo \(B x^{(1)}=e_1\). Multiplicando \(B\) por \(\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}\) obtemos as equações \[\begin{cases} 6x+3y=1,\\[4pt] 8x+4y=0. \end{cases}
Aqui cada equação vem da multiplicação das linhas de B\] pelas componentes \(x,y: por exemplo, a primeira linha de B é (6,3), e seu produto escalar com (x,y) deve dar 1.]

Passo 4

Resolvendo o sistema do Passo 3 de forma elementar e didática: podemos simplificar cada equação dividindo por um fator comum.
6x+3y=1 \quad\Longrightarrow\quad 2x+y=\tfrac{1}{3},
8x+4y=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x+y=0.
Agora observamos que as duas equações reduzidas dizem que 2x+y é ao mesmo tempo \tfrac{1}{3} e 0. Isso é uma contradição: não existe nenhum par (x,y) que satisfaça as duas equações simultaneamente. Conclusão: o sistema B x^{(1)}=e_1 não tem solução.

Passo 5

Interpretação e confirmação por determinante (aqui eu te explico o conceito): para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
o determinante é \det=\;ad-bc. Esse número é fundamental: se \det\neq0 a matriz é inversível; se \det=0 a matriz não tem inversa. Vamos calcular o determinante de B:
\det(B)=6\cdot4-3\cdot8=24-24=0.
Como o determinante é 0, isso confirma que B não é inversível.

Passo 6

Intuição geométrica/linear (explicando com linguagem simples): as colunas de B são \begin{pmatrix}6\\\ 8\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}3\\\ 4\end{pmatrix}. Note que
\begin{pmatrix}3\\\ 4\end{pmatrix}=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}6\\\ 8\end{pmatrix},
ou seja, as colunas são proporcionais (linearmente dependentes). Isso significa que a transformação linear associada a B “sai” do plano para uma reta — ela não é bijetora — e portanto não existe uma transformação inversa: não há B^{-1}.

Resposta

B não é inversível (determinante 0); logo não existe B^{-1}.

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