Para cada função abaixo calcule os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 em
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 para a função
no ponto
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente na parte de aproximações de funções usando polinômios de Taylor. Para isso, vamos precisar das derivadas parciais da função até a segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de Taylor. É uma forma de aproximar uma função por um polinômio, que é mais fácil de trabalhar. O polinômio de primeira ordem inclui termos lineares, e o de segunda ordem inclui também termos quadráticos.
Passo 3
Vamos começar calculando o polinômio de Taylor de primeira ordem. A fórmula geral para esse polinômio em duas variáveis é:
Onde:
-
é o valor da função no ponto . -
e são as derivadas parciais de em relação a e no ponto .
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
Avaliaremos essas derivadas no ponto
:
Passo 6
Substituindo esses valores na fórmula do polinômio de primeira ordem:
Passo 7
Agora, vamos calcular o polinômio de Taylor de segunda ordem. A fórmula geral é:
Onde
,
e
são as derivadas parciais de segunda ordem no ponto
.
Passo 8
Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
Avaliaremos essas derivadas no ponto
:
Passo 9
Substituindo esses valores na fórmula do polinômio de segunda ordem:
Resposta
O polinômio de Taylor de primeira ordem é:
E o polinômio de Taylor de segunda ordem é: