Para cada função abaixo calcule os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 em p.
h(x, y)=x^3+y^3-x^2+x y+4 y, p=(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 para a função no ponto . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente na parte de aproximações de funções usando polinômios de Taylor. Para isso, vamos precisar das derivadas parciais da função até a segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de Taylor. É uma forma de aproximar uma função por um polinômio, que é mais fácil de trabalhar. O polinômio de primeira ordem inclui termos lineares, e o de segunda ordem inclui também termos quadráticos.

Passo 3

Vamos começar calculando o polinômio de Taylor de primeira ordem. A fórmula geral para esse polinômio em duas variáveis é:
P1(x, y) = h(p) + hx(p) cdot (x - x0) + hy(p) cdot (y - y0)
Onde:
  • é o valor da função no ponto .
  • e são as derivadas parciais de em relação a e no ponto .

Passo 4

Vamos calcular h(0, 0) = (0)^3 + (0)^3 - (0)^2 + (0)(0) + 4(0) = 0 :

Passo 5

Agora, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
hx(x, y) = partial hpartial x = 3x^2 - 2x + y
hy(x, y) = partial hpartial y = 3y^2 + x + 4
Avaliaremos essas derivadas no ponto hx(0, 0) = 3(0)^2 - 2(0) + 0 = 0 :
hy(0, 0) = 3(0)^2 + 0 + 4 = 4

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula do polinômio de primeira ordem:
P1(x, y) = 0 + 0 cdot (x - 0) + 4 cdot (y - 0) = 4y

Passo 7

Agora, vamos calcular o polinômio de Taylor de segunda ordem. A fórmula geral é:
P2(x, y) = P1(x, y) + 12 [ hxx(p) (x - x0)^2 + 2hxy(p) (x - x0)(y - y0) + hyy(p) (y - y0)^2 ]
Onde , e são as derivadas parciais de segunda ordem no ponto .

Passo 8

Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
hxx(x, y) = partial^2 hpartial x^2 = 6x - 2
hxy(x, y) = partial^2 hpartial x partial y = 1
hyy(x, y) = partial^2 hpartial y^2 = 6y
Avaliaremos essas derivadas no ponto hxx(0, 0) = 6(0) - 2 = -2 :
hxy(0, 0) = 1
hyy(0, 0) = 6(0) = 0

Passo 9

Substituindo esses valores na fórmula do polinômio de segunda ordem:
P2(x, y) = 4y + 12 [ (-2)(x)^2 + 2(1)(x)(y) + 0(y)^2 ]
P2(x, y) = 4y + 12 (-2x^2 + 2xy)
P2(x, y) = 4y - x^2 + xy

Resposta

O polinômio de Taylor de primeira ordem é:
P1(x, y) = 4y
E o polinômio de Taylor de segunda ordem é:
P2(x, y) = 4y - x^2 + xy

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