Em cada um dos casos abaixo, expresse o intervalo de R resultante em termos de desigualdades e dê a classificação do mesmo.
(d) (-infty, 2] cap[0,+infty)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois intervalos na reta real R: (-infty, 2] e [0, +infty). A tarefa é encontrar a interseção desses dois intervalos, ou seja, os números que estão em ambos os intervalos ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de desigualdades e entender como os intervalos se sobrepõem.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir cada intervalo em termos de desigualdades:
  1. O intervalo (-infty, 2] inclui todos os números menores ou iguais a 2. Em desigualdade, isso fica:
    x <= 2
  2. O intervalo [0, +infty) inclui todos os números maiores ou iguais a 0. Em desigualdade, fica:
    x >= 0

Passo 3

Agora, queremos encontrar os valores de x que satisfazem ambas as desigualdades ao mesmo tempo. Ou seja, precisamos que:
0 <= x <= 2
Isso significa que x deve ser maior ou igual a 0 e menor ou igual a 2.

Passo 4

Vamos representar esse intervalo resultante em termos de intervalo na reta real. Os números que estão entre 0 e 2, inclusive, formam o intervalo:
[0, 2]

Passo 5

Por fim, vamos classificar esse intervalo. Como estamos incluindo os pontos 0 e 2 (usamos colchetes), e os limites são finitos, esse intervalo é limitado e fechado.

Resposta

A interseção dos intervalos (-infty, 2] e [0, +infty) é o intervalo [0, 2], que pode ser expresso como 0 <= x <= 2. Este é um intervalo fechado e limitado.

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