Em cada um dos casos abaixo, expresse o intervalo de
resultante em termos de desigualdades e dê a classificação do mesmo.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a interseção dos intervalos
e
na reta dos números reais. Para isso, vamos usar conceitos de intervalos e desigualdades. Precisamos identificar onde esses dois conjuntos se sobrepõem e depois expressar esse intervalo resultante usando desigualdades. Também vamos classificar o tipo desse intervalo, se é aberto, fechado ou meio aberto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada intervalo representa:
-
é um intervalo fechado, o que significa que inclui os números 0 e 2. -
é um intervalo aberto, que não inclui os números 1 e 3.
Passo 3
Agora, a interseção de dois intervalos é o conjunto de todos os números que estão em ambos os intervalos ao mesmo tempo. Basicamente, queremos encontrar quais números são comuns aos dois intervalos.
Passo 4
Vamos visualizar isso na reta dos números:
- O intervalo
cobre de 0 até 2, incluindo esses pontos. - O intervalo
cobre de 1 até 3, mas sem incluir 1 e 3.
A sobreposição desses dois intervalos ocorre de 1 a 2. Contudo, precisamos prestar atenção aos pontos de extremidade:
- No número 1, o primeiro intervalo começa em 0 e inclui 1 (já que
inclui 0 e 2), mas o segundo intervalo não inclui 1. - No número 2, o primeiro intervalo
inclui 2, enquanto o segundo intervalo também inclui números até bem próximo de 2, mas não precisa se preocupar aqui porque o 2 está incluído no primeiro.
Passo 5
Com base nisso, o intervalo resultante da interseção é de 1 a 2. Agora, vamos expressar isso em termos de desigualdades:
Aqui,
representa qualquer número real que esteja entre 1 e 2, onde:
-
significa que é maior que 1 (não incluindo 1). -
significa que é menor ou igual a 2 (incluindo 2).
Passo 6
Para classificar esse intervalo:
- Aberto: Não inclui os dois extremos.
- Fechado: Inclui os dois extremos.
- Meio aberto (ou meio fechado): Inclui apenas um dos extremos.
No nosso caso, o intervalo
inclui o 2, mas não inclui o 1. Portanto, é um intervalo meio aberto.
Resposta
A interseção dos intervalos
e
é o conjunto de todos os números reais
que satisfazem
. Esse intervalo é classificado como meio aberto.