Em cada um dos casos abaixo, expresse o intervalo de R resultante em termos de desigualdades e dê a classificação do mesmo.
(b) [0,2] cap(1,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a interseção dos intervalos [0,2] e (1,3) na reta dos números reais. Para isso, vamos usar conceitos de intervalos e desigualdades. Precisamos identificar onde esses dois conjuntos se sobrepõem e depois expressar esse intervalo resultante usando desigualdades. Também vamos classificar o tipo desse intervalo, se é aberto, fechado ou meio aberto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada intervalo representa:
  • [0,2] é um intervalo fechado, o que significa que inclui os números 0 e 2.
  • (1,3) é um intervalo aberto, que não inclui os números 1 e 3.

Passo 3

Agora, a interseção de dois intervalos é o conjunto de todos os números que estão em ambos os intervalos ao mesmo tempo. Basicamente, queremos encontrar quais números são comuns aos dois intervalos.

Passo 4

Vamos visualizar isso na reta dos números:
  • O intervalo [0,2] cobre de 0 até 2, incluindo esses pontos.
  • O intervalo (1,3) cobre de 1 até 3, mas sem incluir 1 e 3.
A sobreposição desses dois intervalos ocorre de 1 a 2. Contudo, precisamos prestar atenção aos pontos de extremidade:
  • No número 1, o primeiro intervalo começa em 0 e inclui 1 (já que [0,2] inclui 0 e 2), mas o segundo intervalo (1,3) não inclui 1.
  • No número 2, o primeiro intervalo [0,2] inclui 2, enquanto o segundo intervalo (1,3) também inclui números até bem próximo de 2, mas não precisa se preocupar aqui porque o 2 está incluído no primeiro.

Passo 5

Com base nisso, o intervalo resultante da interseção é de 1 a 2. Agora, vamos expressar isso em termos de desigualdades:
1 < x <= 2
Aqui, x representa qualquer número real que esteja entre 1 e 2, onde:
  • 1 < x significa que x é maior que 1 (não incluindo 1).
  • x <= 2 significa que x é menor ou igual a 2 (incluindo 2).

Passo 6

Para classificar esse intervalo:
  • Aberto: Não inclui os dois extremos.
  • Fechado: Inclui os dois extremos.
  • Meio aberto (ou meio fechado): Inclui apenas um dos extremos.
No nosso caso, o intervalo (1,2] inclui o 2, mas não inclui o 1. Portanto, é um intervalo meio aberto.

Resposta

A interseção dos intervalos [0,2] e (1,3) é o conjunto de todos os números reais x que satisfazem 1 < x <= 2. Esse intervalo é classificado como meio aberto.

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