Questão 58 Seja
um subespaço vetorial de um espaço vetorial de dimensão finita
. Seja
com
tal que
. Considere
.
Se
e
, calcule
.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Informação:
é um subespaço de . - Informação:
, e . - Informação:
(isto é, ). - Informação:
. - Informação:
.
Pergunta: calcular
.
Passo 2
Vamos lembrar e entender uma fórmula-chave que resolve esse tipo de problema.
A fórmula de dimensão para a soma de dois subespaços
e
diz:
Explicando cada termo:
-
é o número de vetores de uma base de . -
é o número de vetores de uma base de . -
é o conjunto de vetores que estão simultaneamente em e em ; a dimensão desse espaço de interseção conta quantos graus de liberdade estão sendo “contados duas vezes” ao somar as dimensões, por isso subtraímos.
Essa fórmula é válida sempre que
e
são subespaços de um mesmo espaço vetorial
, como é o nosso caso.
Passo 3
Entender
. Pelo enunciado,
.
- A
é o conjunto de todos os múltiplos escalares de : . - Se
, então é uma reta (um subespaço unidimensional). Logo
(Explicação didática: qualquer base de
tem exatamente um vetor não-nulo, por exemplo
.)
Passo 4
Determinar
.
Tomemos um vetor
. Como
, existe
tal que
. Como também
, temos
.
- Se
, então , o que contradiz a hipótese . - Portanto devemos ter
, logo .
Assim o único vetor na interseção é o vetor zero, ou seja
Portanto
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da Passo 2, substituindo os valores que já encontramos:
Substituindo
,
e
obtemos