Questão 58 Seja W_{1} um subespaço vetorial de um espaço vetorial de dimensão finita V. Seja u \in V com u \neq 0 tal que u \notin W_{1}. Considere W_{2}=[u].
Se \operatorname{dim} W_{1}=5 e \operatorname{dim} V=10, calcule \operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Informação: W_{1} é um subespaço de V.
  • Informação: u\in V, u\neq 0 e u\notin W_{1}.
  • Informação: W_{2}=[u] (isto é, W_{2}=\operatorname{span}\{u\}).
  • Informação: \operatorname{dim} W_{1}=5.
  • Informação: \operatorname{dim} V=10.
Pergunta: calcular \operatorname{dim}\!\left(W_{1}+W_{2}\right).

Passo 2

Vamos lembrar e entender uma fórmula-chave que resolve esse tipo de problema.
A fórmula de dimensão para a soma de dois subespaços W_{1} e W_{2} diz:
\operatorname{dim}\!\left(W_{1}+W_{2}\right)=\operatorname{dim} W_{1}+\operatorname{dim} W_{2}-\operatorname{dim}\!\left(W_{1}\cap W_{2}\right).
Explicando cada termo:
  • \operatorname{dim} W_{1} é o número de vetores de uma base de W_{1}.
  • \operatorname{dim} W_{2} é o número de vetores de uma base de W_{2}.
  • W_{1}\cap W_{2} é o conjunto de vetores que estão simultaneamente em W_{1} e em W_{2}; a dimensão desse espaço de interseção conta quantos graus de liberdade estão sendo “contados duas vezes” ao somar as dimensões, por isso subtraímos.
Essa fórmula é válida sempre que W_{1} e W_{2} são subespaços de um mesmo espaço vetorial V, como é o nosso caso.

Passo 3

Entender \operatorname{dim} W_{2}. Pelo enunciado, W_{2}=[u]=\operatorname{span}\{u\}.
  • A \operatorname{span}\{u\} é o conjunto de todos os múltiplos escalares de u: \{ \alpha u \mid \alpha\in\mathbb{F}\}.
  • Se u\neq 0, então \operatorname{span}\{u\} é uma reta (um subespaço unidimensional). Logo
\operatorname{dim} W_{2}=1.
(Explicação didática: qualquer base de W_{2} tem exatamente um vetor não-nulo, por exemplo \{u\}.)

Passo 4

Determinar \operatorname{dim}\!\left(W_{1}\cap W_{2}\right).
Tomemos um vetor v\in W_{1}\cap W_{2}. Como v\in W_{2}=\operatorname{span}\{u\}, existe \alpha\in\mathbb{F} tal que v=\alpha u. Como também v\in W_{1}, temos \alpha u\in W_{1}.
  • Se \alpha\neq 0, então u=\alpha^{-1}v\in W_{1}, o que contradiz a hipótese u\notin W_{1}.
  • Portanto devemos ter \alpha=0, logo v=0.
Assim o único vetor na interseção é o vetor zero, ou seja
W_{1}\cap W_{2}=\{0\}.
Portanto
\operatorname{dim}\!\left(W_{1}\cap W_{2}\right)=0.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da Passo 2, substituindo os valores que já encontramos:
\operatorname{dim}\!\left(W_{1}+W_{2}\right)=\operatorname{dim} W_{1}+\operatorname{dim} W_{2}-\operatorname{dim}\!\left(W_{1}\cap W_{2}\right).
Substituindo \operatorname{dim} W_{1}=5, \operatorname{dim} W_{2}=1 e \operatorname{dim}\!\left(W_{1}\cap W_{2}\right)=0 obtemos
\operatorname{dim}\!\left(W_{1}+W_{2}\right)=5+1-0.

Resposta

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