Seja
uma TL com
de dimensão finita. Mostre que:
(a)
(b) se
, então
.
(a)
(b) se
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
com
de dimensão finita e pede duas coisas:
(a) Mostrar a cadeia de inclusões
(b) Mostrar que, se
, então
Informações dadas e úteis:
é linear,
é finito-dim. Não há mais hipóteses extras. A notação
significa o subconjunto de
formado por todos os vetores da forma
com
. A notação
(núcleo) significa
.
Passo 2
Primeiro vou explicar e provar a parte (a) de forma simples e direta, pois é um fato elementar sobre potências de operadores lineares.
Definição usada: para
definimos
como a composição de
consigo mesma
vezes. Por exemplo,
,
, etc. A imagem
é o conjunto
.
Agora pegue um
. Pelo que significa imagem existe
tal que
Mas
(ou
, pela associatividade), portanto
Como
, isso mostra que
é da forma
com
. Logo
. Assim todo elemento de
pertence a
, ou seja
Passo 3
Da propriedade do passo anterior válida para todo
segue imediatamente a cadeia pedida:
Isto conclui a parte (a). É um argumento muito direto: aplicar
uma vez a mais só pode produzir vetores que já estavam na imagem anterior.
Passo 4
Agora preparo a parte (b). Vou usar o Teorema do Posto-Nulidade (rank–nullity) e uma observação sobre restrição de
à imagem.
Teorema do Posto-Nulidade (explicado): se
é uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita, então
Aqui
é o núcleo (conjunto de vetores enviados em
) e
é a imagem. A interpretação prática: a dimensão do domínio é a soma da dimensão do núcleo com a dimensão da imagem.
Outra observação simples: se
é um subespaço de
e consideramos a restrição
(ou
se a imagem ficar em
), então
. Ou seja, o núcleo da restrição é exatamente os vetores de
que
manda para
.
Passo 5
Usando a hipótese de (b):
.
Pelo item (a) sabemos que
. Quando dois espaços satisfazem
e
, necessariamente
. Portanto a hipótese implica
Passo 6
Defina a restrição linear
ou seja,
é
vista como aplicação cujo domínio é
. Note que para qualquer
existe
com
, e então
então a imagem de
é exatamente
. Pela igualdade do passo anterior temos
Portanto
é sobrejetora (surjetiva) como aplicação de
em
.
Passo 7
Agora uso o fato clássico: uma transformação linear entre dois espaços vetoriais de mesma dimensão é sobrejetora se, e somente se, é injetora. Aplicando o teorema do posto-nulidade à aplicação
obtemos
Mas
(visto acima), então
. Logo
.
Lembrando que
, concluímos
que é exatamente o que queríamos demonstrar na parte (b).
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)