Seja T: V \rightarrow V uma TL com V de dimensão finita. Mostre que:
(a) \operatorname{Im}(T) \supset \operatorname{Im}\left(T^{2}\right) \supset \operatorname{Im}\left(T^{3}\right) \cdots
(b) se \operatorname{dim} \operatorname{Im} T=\operatorname{dim} \operatorname{Im}\left(T^{2}\right), então \operatorname{Nuc} T \cap \operatorname{Im} T=\{0\}.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: V \to V com V de dimensão finita e pede duas coisas:
(a) Mostrar a cadeia de inclusões
\operatorname{Im}(T) \supset \operatorname{Im}\bigl(T^{2}\bigr) \supset \operatorname{Im}\bigl(T^{3}\bigr) \supset \cdots
(b) Mostrar que, se \dim \operatorname{Im}T=\dim \operatorname{Im}\bigl(T^{2}\bigr), então
\operatorname{Nuc}T \cap \operatorname{Im}T = \{0\}.
Informações dadas e úteis: T é linear, V é finito-dim. Não há mais hipóteses extras. A notação \operatorname{Im}(T) significa o subconjunto de V formado por todos os vetores da forma T(v) com v\in V. A notação \operatorname{Nuc}T (núcleo) significa \{v\in V\mid T(v)=0\}.

Passo 2

Primeiro vou explicar e provar a parte (a) de forma simples e direta, pois é um fato elementar sobre potências de operadores lineares.
Definição usada: para k\ge 1 definimos T^{k} como a composição de T consigo mesma k vezes. Por exemplo, T^{2}=T\circ T, T^{3}=T\circ T\circ T, etc. A imagem \operatorname{Im}\bigl(T^{k}\bigr) é o conjunto \{T^{k}(v)\mid v\in V\}.
Agora pegue um y\in \operatorname{Im}\bigl(T^{k+1}\bigr). Pelo que significa imagem existe x\in V tal que
y = T^{k+1}(x).
Mas T^{k+1} = T^{k}\circ T (ou T\circ T^{k}, pela associatividade), portanto
y = T^{k}\bigl(T(x)\bigr).
Como T(x)\in V, isso mostra que y é da forma T^{k}(z) com z=T(x)\in V. Logo y\in \operatorname{Im}\bigl(T^{k}\bigr). Assim todo elemento de \operatorname{Im}\bigl(T^{k+1}\bigr) pertence a \operatorname{Im}\bigl(T^{k}\bigr), ou seja
\operatorname{Im}\bigl(T^{k+1}\bigr)\subseteq \operatorname{Im}\bigl(T^{k}\bigr).

Passo 3

Da propriedade do passo anterior válida para todo k\ge 1 segue imediatamente a cadeia pedida:
\operatorname{Im}(T) \supset \operatorname{Im}\bigl(T^{2}\bigr) \supset \operatorname{Im}\bigl(T^{3}\bigr) \supset \cdots.
Isto conclui a parte (a). É um argumento muito direto: aplicar T uma vez a mais só pode produzir vetores que já estavam na imagem anterior.

Passo 4

Agora preparo a parte (b). Vou usar o Teorema do Posto-Nulidade (rank–nullity) e uma observação sobre restrição de T à imagem.
Teorema do Posto-Nulidade (explicado): se L: W\to U é uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita, então
\dim W = \dim \ker L + \dim \operatorname{Im} L.
Aqui \ker L é o núcleo (conjunto de vetores enviados em 0) e \operatorname{Im} L é a imagem. A interpretação prática: a dimensão do domínio é a soma da dimensão do núcleo com a dimensão da imagem.
Outra observação simples: se X é um subespaço de V e consideramos a restrição S=T|_{X}: X\to V (ou S:T|_{X}:X\to X se a imagem ficar em X), então \ker S = \ker T \cap X. Ou seja, o núcleo da restrição é exatamente os vetores de X que T manda para 0.

Passo 5

Usando a hipótese de (b): \dim \operatorname{Im}T=\dim \operatorname{Im}\bigl(T^{2}\bigr).
Pelo item (a) sabemos que \operatorname{Im}\bigl(T^{2}\bigr)\subseteq \operatorname{Im}T. Quando dois espaços satisfazem A\subseteq B e \dim A = \dim B, necessariamente A=B. Portanto a hipótese implica
\operatorname{Im}\bigl(T^{2}\bigr)=\operatorname{Im}T.

Passo 6

Defina a restrição linear
S := T|_{\operatorname{Im}T} : \operatorname{Im}T \longrightarrow \operatorname{Im}T,
ou seja, S é T vista como aplicação cujo domínio é \operatorname{Im}T. Note que para qualquer w\in \operatorname{Im}T existe v\in V com w=T(v), e então
S(w) = T(w) = T\bigl(T(v)\bigr) = T^{2}(v),
então a imagem de S é exatamente \operatorname{Im}\bigl(T^{2}\bigr). Pela igualdade do passo anterior temos
\operatorname{Im} S = \operatorname{Im}\bigl(T^{2}\bigr) = \operatorname{Im}T.
Portanto S é sobrejetora (surjetiva) como aplicação de \operatorname{Im}T em \operatorname{Im}T.

Passo 7

Agora uso o fato clássico: uma transformação linear entre dois espaços vetoriais de mesma dimensão é sobrejetora se, e somente se, é injetora. Aplicando o teorema do posto-nulidade à aplicação S:\operatorname{Im}T\to\operatorname{Im}T obtemos
\dim \operatorname{Im}T = \dim \ker S + \dim \operatorname{Im} S.
Mas \dim \operatorname{Im}S = \dim \operatorname{Im}T (visto acima), então \dim \ker S = 0. Logo \ker S = \{0\}.
Lembrando que \ker S = \ker\bigl(T|_{\operatorname{Im}T}\bigr) = \operatorname{Nuc}T \cap \operatorname{Im}T, concluímos
\operatorname{Nuc}T \cap \operatorname{Im}T = \{0\},
que é exatamente o que queríamos demonstrar na parte (b).

Resposta

(a) \operatorname{Im}(T) \supset \operatorname{Im}\bigl(T^{2}\bigr) \supset \operatorname{Im}\bigl(T^{3}\bigr) \supset \cdots\n
(b) \operatorname{Nuc}T \cap \operatorname{Im}T = \{0\}

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