Em cada um dos casos abaixo, sendo a matriz aumentada de um sistema (com ), o que se pode dizer sobre as soluções desse sistema?

Passo 1

O sistema dado tem três equações lineares em três incógnitas x1,x2,x3, cuja matriz aumentada é
A= a11 & a12 & n,a12 & b1 a21 & a22 & n,a22 & b2 a31 & a32 & n,a32 & b3
O conteúdo é classificação de sistemas lineares por posto (rank). Vamos determinar se há solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções, usando o critério de posto da matriz de coeficientes e da matriz aumentada.

Passo 2

Note que a terceira coluna de coeficientes é vezes a segunda:
.
Logo as três colunas de coeficientes são linearmente dependentes, e o posto da matriz de coeficientes satisfaz
Isto garante que não há solução única (pois para solução única precisaríamos ).

Passo 3

Para decidir entre “nenhuma solução” ou “infinitas soluções”, comparamos
e .
Defina o determinante
Esse é o determinante dos vetores-coluna e a coluna dos termos independentes .

Passo 4

Se , então
o que implica sistema inconsistente (nenhuma solução).

Passo 5

Se , então
logo o sistema é consistente e, como há sempre pelo menos um grau de liberdade ( incógnitas e posto ), existem infinitas soluções.

Resposta

O sistema nunca tem solução única.
bul<=t Se
det a11 & a12 & b1 a21 & a22 & b2 a31 & a32 & b3 neq0,
então não há solução.
bul<=t Se esse determinante é zero, então o sistema é consistente e tem infinitas soluções.

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