Em cada um dos casos abaixo, sendo a matriz aumentada de um sistema (com ), o que se pode dizer sobre as soluções desse sistema?
Passo 1
O sistema dado tem três equações lineares em três incógnitas , cuja matriz aumentada é
O conteúdo é classificação de sistemas lineares por posto (rank). Vamos determinar se há solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções, usando o critério de posto da matriz de coeficientes e da matriz aumentada.
Passo 2
Note que a terceira coluna de coeficientes é vezes a segunda: .
Logo as três colunas de coeficientes são linearmente dependentes, e o posto da matriz de coeficientes satisfaz
Isto garante que não há solução única (pois para solução única precisaríamos ).
Passo 3
Para decidir entre “nenhuma solução” ou “infinitas soluções”, comparamos
e .
Defina o determinante
Esse é o determinante dos vetores-coluna e a coluna dos termos independentes .
Passo 4
Se , então
o que implica sistema inconsistente (nenhuma solução).
Passo 5
Se , então
logo o sistema é consistente e, como há sempre pelo menos um grau de liberdade ( incógnitas e posto ), existem infinitas soluções.