(30 pts) Dada a reta
beta: pi-x2=y-13=-2 z-raiz28,
(a) ( 15 pts ) Determine a equação reduzida em função de z da reta r que passa pelo ponto (5,1,-1) e é paralela à reta dada beta.
(b) (15 pts) Se o ponto (m, 3, n) in r, determinar m e n.

Passo 1

O enunciado dá a reta
beta: pi - x2=y-13=-2z-raiz28
e pede:
(a) a equação reduzida em função de z da reta r que passa por (5,1,-1) e é paralela a beta;
(b) se (m,3,n)in r, determinar m e n.
O conteúdo aqui é geometria analítica em R^3: converter equação simétrica em paramétrica, obter vetor diretor e impor condições de paralelismo e de pertencimento.

Passo 2

Para extrair o vetor diretor de beta, definimos
t=pi - x2=y-13=-2z-raiz28
Dessas igualdades seguem as paramétricas
pi - x = 2tLongrightarrow x=pi-2t,
y-tfrac13 = tLongrightarrow y=t+tfrac13,
-,(2z-raiz2)=8tLongrightarrow 2z-raiz2=-8tLongrightarrow z=raiz22-4t
O vetor diretor de beta é o coeficiente de t, ou seja
v=(-2,;1,;-4)

Passo 3

Como r deve passar por P0=(5,1,-1) e ser paralela a beta, sua forma paramétrica é
l(x,y,zr) = (5,1,-1)+lambda,(-2,1,-4)
Isto é
x=5-2lambda, y=1+lambda, z=-1-4lambda

Passo 4

Queremos a equação de r reduzida em função de z. Da terceira equação isolamos lambda:
z=-1-4lambdaLongrightarrow lambda=-z+14
Substituindo em x e y, obtemos
x=5-2l(-tfracz+14r)=5+z+12=z+112,
y=1+l(-tfracz+14r)=3-z4
Logo a forma reduzida de r em função de z é
x=z+112, y=3-z4

Passo 5

Se (m,3,n)in r, então ao substituir z=n na expressão de y deve valer
3=3-n4Longrightarrow 3-n=12Longrightarrow n=-9
Em seguida, o valor de m sai de
m=xl(z=nr)=n+112=-9+112=1

Resposta

(a) A reta r em função de z é
x=z+112, y=3-z4
(b) Os valores são m=1 e n=-9.

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