Em cada um dos casos abaixo, sendo a matriz aumentada de um sistema (com ), o que se pode dizer sobre as soluções desse sistema?
(b)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz aumentada
A= a11&a12&b1 a21&a22&b2 a31&a32&b3 a41&a42&b4
de um sistema linear com quatro equações e duas incógnitas. O conteúdo aqui é a classificação de soluções via o posto (rank) da matriz de coeficientes e da matriz aumentada.

Passo 2

Separemos a matriz de coeficientes, que chamaremos de , e a coluna dos termos independentes, que chamaremos de :
Temos , então

Passo 3

Pela teoria de sistemas lineares, comparemos com :
. Se , o sistema é incompatível (nenhuma solução).
. Se , há pivôs em ambas as colunas de , logo existe exatamente uma solução.
. Se , então há variáveis livres e o sistema tem infinitas soluções.

Passo 4

Aplicando esses resultados ao nosso caso com duas incógnitas:
  • Caso mais comum: e solução única.
  • Se (ou ) e (ou ) infinitas soluções.
  • Se ou em geral nenhuma solução.

Resposta

O sistema, por ter mais equações do que incógnitas, é em geral sobredeterminado e pode ser
– sem solução (incompatível),
– ter exatamente uma solução (quando ),
– ou ter infinitas soluções (quando e o sistema é compatível).

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