Em cada um dos casos abaixo, sendo a matriz aumentada de um sistema (com ), o que se pode dizer sobre as soluções desse sistema?
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz aumentada
de um sistema linear com quatro equações e duas incógnitas. O conteúdo aqui é a classificação de soluções via o posto (rank) da matriz de coeficientes e da matriz aumentada.
Passo 2
Separemos a matriz de coeficientes, que chamaremos de , e a coluna dos termos independentes, que chamaremos de :
Temos , então
Passo 3
Pela teoria de sistemas lineares, comparemos com : . Se , o sistema é incompatível (nenhuma solução). . Se , há pivôs em ambas as colunas de , logo existe exatamente uma solução. . Se , então há variáveis livres e o sistema tem infinitas soluções.
Passo 4
Aplicando esses resultados ao nosso caso com duas incógnitas:
Caso mais comum: e solução única.
Se (ou ) e (ou ) infinitas soluções.
Se ou em geral nenhuma solução.
Resposta
O sistema, por ter mais equações do que incógnitas, é em geral sobredeterminado e pode ser
– sem solução (incompatível),
– ter exatamente uma solução (quando ),
– ou ter infinitas soluções (quando e o sistema é compatível).