Exercício 5. Considere a reta r de equação cartesiana y=-3 x+1.
a) Encontre um vetor n ortogonal a r e um vetor u na direção de r.
b) Use o produto escalar para encontrar a equação cartesiana da reta que passa por P=(4,-7) e que é paralela a r.
c) Use o produto escalar para determinar a equação cartesiana da reta que passa por P=(4,-7) e que é ortogonal a reta r.

Passo 1

O enunciado dá a reta r de equação
y = -3x + 1
e pede:
a) um vetor n ortogonal a r e um vetor u na direção de r.
b) a equação cartesiana da reta que passa por P=(4,-7) e é paralela a r, usando produto escalar.
c) a equação cartesiana da reta que passa por P=(4,-7) e é ortogonal a r, também via produto escalar.

Passo 2

Para achar um vetor direção de r, note que o coeficiente angular é -3, isto é, sempre que x cresce de 1, y cai de 3. Logo podemos tomar
u = (1,,-3)
Um vetor normal a r deve satisfazer ncdotu=0. Se escolhemos
n = (3,,1),
temos
ncdotu = 3cdot1 + 1cdot(-3) = 0,
portanto n=(3,1) é ortogonal a r.

Passo 3

A reta paralela a r em P tem o mesmo vetor normal n=(3,1). Usamos o produto escalar para impor
ncdotl((x,y)-(4,-7)r)=0
Isto é,
3(x-4)+1,(y+7)=0
implies 3x - 12 + y + 7 = 0
implies 3x + y - 5 = 0

Passo 4

A reta ortogonal a r em P tem direção igual ao vetor normal de r, mas podemos impor diretamente que o vetor direção de r, u=(1,-3), seja ortogonal ao vetor que vai de P a (x,y). Assim:
ucdotl((x,y)-(4,-7)r)=0
implies 1cdot(x-4)+(-3)cdot(y+7)=0
implies x - 4 - 3y - 21 = 0
implies x - 3y - 25 = 0

Resposta

a) n=(3,1) e u=(1,-3).
b) 3x + y - 5 = 0.
c) x - 3y - 25 = 0.

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