(!!) Considere a função:
g) Calcule
, sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
definida de duas formas diferentes, dependendo se o ponto
é
ou não. A pergunta é para calcular a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional e como aplicá-la usando o limite. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. Imagine que você está em um ponto
e quer saber como a função muda na direção de um vetor
. A derivada direcional,
, mede exatamente essa taxa de variação.
A fórmula para a derivada direcional é:
No nosso caso, queremos calcular
, então
e
.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso. Primeiro, vamos substituir
e
por 0, e
e
pelos valores do vetor
:
Simplificando os termos dentro da função:
Agora, precisamos calcular
. Como
para
, usamos a primeira definição da função:
Substituindo
e
:
Vamos simplificar isso!
Passo 4
Vamos simplificar a expressão passo a passo:
Primeiro, note que
.
Agora, calculemos os demais termos:
- Numerador:
Calculando
:
Multiplicando por
:
- Denominador:
Então, a função fica:
Agora, voltamos à fórmula da derivada direcional:
Resposta
A derivada direcional
na direção do vetor
é
.