(!!) Considere a função:
f(x, y) = (x^3 - y^3 + x*y*(x + y)) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0)
g) Calcule D_v f(0,0), sendo v = (raiz(2)/2, raiz(2)/2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de duas formas diferentes, dependendo se o ponto é ou não. A pergunta é para calcular a derivada direcional de no ponto na direção do vetor .
Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional e como aplicá-la usando o limite. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. Imagine que você está em um ponto e quer saber como a função muda na direção de um vetor . A derivada direcional, , mede exatamente essa taxa de variação.
A fórmula para a derivada direcional é:
No nosso caso, queremos calcular , então e .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso. Primeiro, vamos substituir e por 0, e e pelos valores do vetor :
Simplificando os termos dentro da função:
Agora, precisamos calcular . Como para , usamos a primeira definição da função:
Substituindo e :
Vamos simplificar isso!

Passo 4

Vamos simplificar a expressão passo a passo:
Primeiro, note que .
Agora, calculemos os demais termos:
  1. Numerador:
Calculando :
Multiplicando por :
  1. Denominador:
Então, a função fica:
Agora, voltamos à fórmula da derivada direcional:

Resposta

A derivada direcional na direção do vetor é .

Exercícios relacionados