Em cada um dos casos decida se a sentença é verdadeira para quaisquer conjuntos A, B e C. Em caso afirmativo, prove. Em caso negativo, dê um contraexemplo.
\overline{A \cap B}=\bar{A} \cap \bar{B}.

Passo 1

O enunciado pergunta se para quaisquer conjuntos A e B vale
\overline{A\cap B} \;=\; \overline{A}\;\cap\;\overline{B}.
O conteúdo envolvido é a teoria de conjuntos, mais precisamente as leis de De Morgan para complemento de união e interseção.

Passo 2

Recordando as leis de De Morgan, temos sempre
\overline{A\cap B} \;=\; \overline{A}\;\cup\;\overline{B},
e não com interseção no lado direito. Logo, suspeitamos que a igualdade dada seja falsa e que seja preciso um contraexemplo.

Passo 3

Vamos construir um contraexemplo num universo finito simples. Seja o universo
U = \{1,2,3\},
e definamos
A = \{1,2\}, \quad B = \{2,3\}.

Passo 4

Calculemos os dois lados da suposta igualdade:
  1. A\cap B = \{2\}, logo \overline{A\cap B} = U \setminus \{2\} = \{1,3\}.
  2. \overline{A} = U\setminus A = \{3\} e \overline{B} = U\setminus B = \{1\}, então \overline{A}\;\cap\;\overline{B} = \{3\}\cap\{1\} = \emptyset.
Como \{1,3\}\neq\emptyset, os dois lados não coincidem.

Resposta

A sentença é falsa. O contraexemplo em U=\{1,2,3\} com A=\{1,2\} e B=\{2,3\} mostra que
\overline{A\cap B} = \{1,3\} \quad\text{difere de}\quad \overline{A}\;\cap\;\overline{B} = \emptyset.

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