Sejam A, B, C \subseteq \mathbb{U}. Prove que
(A \cup C) \cap[(A \cap B) \cup(\bar{C} \cap B)]=A \cap B

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer conjuntos A,B,C\subseteq\mathbb{U}, vale a igualdade
(A \cup C)\cap\bigl[(A\cap B)\cup(\overline{C}\cap B)\bigr] = A\cap B.
O conteúdo usado será a álgebra de conjuntos: propriedade distributiva, identidade da interseção e inclusão entre conjuntos.

Passo 2

Aplicamos a distributividade da interseção sobre a união:
(A \cup C)\cap\bigl[(A\cap B)\cup(\overline{C}\cap B)\bigr] = \bigl[(A\cup C)\cap(A\cap B)\bigr] \;\cup\; \bigl[(A\cup C)\cap(\overline{C}\cap B)\bigr].

Passo 3

Simplificamos o primeiro termo usando que A\cap B\subseteq A, então
(A\cup C)\cap(A\cap B) = A\cap B.

Passo 4

Simplificamos o segundo termo em dois passos:
  1. (A\cup C)\cap(\overline{C}\cap B) = \bigl[(A\cup C)\cap\overline{C}\bigr]\cap B.
  2. Como (A\cup C)\cap\overline{C}=(A\cap\overline{C})\cup(C\cap\overline{C})=(A\cap\overline{C}), resulta
(A\cup C)\cap(\overline{C}\cap B) = (A\cap\overline{C})\cap B.

Passo 5

Note que (A\cap\overline{C})\cap B\subseteq A\cap B. Logo, unindo os dois termos:
(A\cap B)\;\cup\;\bigl((A\cap\overline{C})\cap B\bigr) = A\cap B.

Resposta

(A \cup C)\cap\bigl[(A\cap B)\cup(\overline{C}\cap B)\bigr] = A\cap B.

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