Sejam A, B, C \subseteq \mathbb{U} conjuntos. Mostre que (associatividade mista)
(A \cap B) \cup C=A \cap(B \cup C) \Longleftrightarrow C \subseteq A
(note que o critério não envolve B !)

Passo 1

O enunciado diz para mostrar que, dados conjuntos A,B,C\subseteq\mathbb{U}, vale a equivalência
(A\cap B)\cup C = A\cap (B\cup C) \;\Longleftrightarrow\; C \subseteq A.
O que vamos usar: a definição de igualdade de conjuntos (dupla inclusão), a definição de subconjunto e as propriedades básicas de união e interseção.

Passo 2

Prova da direção “ \Longrightarrow”: suponha
(A\cap B)\cup C = A\cap (B\cup C).
Para mostrar C\subseteq A, tome um elemento arbitrário x\in C. Então x\in (A\cap B)\cup C. Pela igualdade de conjuntos, x\in A\cap (B\cup C). Mas isso implica x\in A. Como x era genérico em C, segue C\subseteq A.

Passo 3

Prova da direção “ \Longleftarrow”: suponha agora C\subseteq A. Para concluir a igualdade
(A\cap B)\cup C = A\cap (B\cup C)
faremos dupla inclusão.

Passo 4

Mostrando (A\cap B)\cup C \subseteq A\cap (B\cup C): seja x\in (A\cap B)\cup C.
  1. Se x\in A\cap B, então x\in A e x\in B, logo x\in B\cup C e assim x\in A\cap(B\cup C).
  2. Se x\in C, então por hipótese x\in A e claro x\in B\cup C, de modo que x\in A\cap(B\cup C).

Passo 5

Mostrando A\cap (B\cup C)\subseteq (A\cap B)\cup C: seja x\in A\cap(B\cup C). Então x\in A e x\in B\cup C.
  1. Se x\in B, então x\in A\cap B\subseteq (A\cap B)\cup C.
  2. Se x\in C, então evidentemente x\in (A\cap B)\cup C.
Assim ambas as inclusões valem, provando a igualdade.

Resposta

Concluímos que
(A\cap B)\cup C = A\cap (B\cup C) \quad\Longleftrightarrow\quad C \subseteq A.

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