Sejam
conjuntos. Mostre que (associatividade mista)
(note que o critério não envolve
!)
Passo 1
O enunciado diz para mostrar que, dados conjuntos
, vale a equivalência
O que vamos usar: a definição de igualdade de conjuntos (dupla inclusão), a definição de subconjunto e as propriedades básicas de união e interseção.
Passo 2
Prova da direção “
”: suponha
Para mostrar
, tome um elemento arbitrário
. Então
. Pela igualdade de conjuntos,
. Mas isso implica
. Como
era genérico em
, segue
.
Passo 3
Prova da direção “
”: suponha agora
. Para concluir a igualdade
faremos dupla inclusão.
Passo 4
Mostrando
: seja
.
- Se
, então e , logo e assim . - Se
, então por hipótese e claro , de modo que .
Passo 5
Mostrando
: seja
. Então
e
.
- Se
, então . - Se
, então evidentemente .
Assim ambas as inclusões valem, provando a igualdade.
Resposta
Concluímos que