Em cada um dos casos decida se a sentença é verdadeira para quaisquer conjuntos A, B e C. Em caso afirmativo, prove. Em caso negativo, dê um contraexemplo.
(A-B) \cap(B-A)=\emptyset

Passo 1

O enunciado pergunta se, para quaisquer conjuntos A e B, vale sempre
(A-B)\cap(B-A)=\emptyset.
O conteúdo aqui é operações sobre conjuntos: diferença, complemento e interseção. Vamos provar que essa igualdade é verdadeira em geral.

Passo 2

Usamos a identidade de diferença em termos de complemento:
A - B = A\cap B^{c}, \qquad B - A = B\cap A^{c}.
Logo,
(A-B)\cap(B-A) = (A\cap B^{c})\cap (B\cap A^{c}).
Pela comutatividade e associatividade de \cap, reagrupamos assim:
(A\cap B^{c})\cap (B\cap A^{c}) = (A\cap A^{c})\cap (B\cap B^{c}).
Mas A\cap A^{c}=\emptyset e B\cap B^{c}=\emptyset. Como a interseção de qualquer conjunto com \emptyset é \emptyset, segue
(A-B)\cap(B-A)=\emptyset.

Resposta

A sentença é verdadeira para quaisquer conjuntos A e B.

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