Em cada um dos casos decida se a sentença é verdadeira para quaisquer conjuntos A, B e C. Em caso afirmativo, prove. Em caso negativo, dê um contraexemplo.
\wp(A \times A)=\wp(A) \times \wp(A).

Passo 1

O enunciado pergunta se, para quaisquer conjuntos A, vale
\wp(A\times A)\;=\;\wp(A)\times\wp(A).
Aqui o conteúdo é o de conjunto das partes (power set) e produto cartesiano de conjuntos. Temos de decidir se todo subconjunto de A\times A corresponde a um par (X,Y) com X,Y\subseteq A e vice-versa.

Passo 2

Definições envolvidas:
  1. \wp(A\times A) é o conjunto de todos os subconjuntos de A\times A. Cada elemento de \wp(A\times A) é um conjunto S\subseteq A\times A.
  2. \wp(A)\times\wp(A) é o conjunto de todos os pares ordenados (X,Y) em que X\subseteq A e Y\subseteq A. Cada elemento é uma dupla, não um subconjunto de A\times A.
Para que a igualdade valesse, teria que haver bijeção natural entre subconjuntos de A\times A e pares de subconjuntos de A. Vamos mostrar que isso falha já no caso mais simples.

Passo 3

Escolhemos A=\{1\}. Então
A\times A=\{(1,1)\}.
Logo
\wp(A\times A)=\bigl\{\emptyset,\;\{(1,1)\}\bigr\},
que tem exatamente dois elementos.

Passo 4

Por outro lado,
\wp(A)=\bigl\{\emptyset,\{1\}\bigr\},
logo
\wp(A)\times\wp(A) =\bigl\{ (\emptyset,\emptyset),\;(\emptyset,\{1\}),\;(\{1\},\emptyset),\;(\{1\},\{1\}) \bigr\},
que tem quatro elementos. Como 2\neq4, esses conjuntos não podem ser iguais.

Resposta

A sentença é falsa. Contraexemplo: para A=\{1\} temos
\bigl|\wp(A\times A)\bigr|=2 \quad\text{e}\quad \bigl|\wp(A)\times\wp(A)\bigr|=4,
logo \wp(A\times A)\neq\wp(A)\times\wp(A).

Exercícios relacionados