Em cada um dos casos decida se a sentença é verdadeira para quaisquer conjuntos A, B e C. Em caso afirmativo, prove. Em caso negativo, dê um contraexemplo. \wp(A \times A)=\wp(A) \times \wp(A).
Passo 1
O enunciado pergunta se, para quaisquer conjuntos A, vale
\wp(A\times A)\;=\;\wp(A)\times\wp(A).
Aqui o conteúdo é o de conjunto das partes (power set) e produto cartesiano de conjuntos. Temos de decidir se todo subconjunto de A\times A corresponde a um par (X,Y) com X,Y\subseteq A e vice-versa.
Passo 2
Definições envolvidas:
\wp(A\times A) é o conjunto de todos os subconjuntos de A\times A. Cada elemento de \wp(A\times A) é um conjunto S\subseteq A\times A.
\wp(A)\times\wp(A) é o conjunto de todos os pares ordenados (X,Y) em que X\subseteq A e Y\subseteq A. Cada elemento é uma dupla, não um subconjunto de A\times A.
Para que a igualdade valesse, teria que haver bijeção natural entre subconjuntos de A\times A e pares de subconjuntos de A. Vamos mostrar que isso falha já no caso mais simples.