Em cada um dos casos decida se a sentença é verdadeira para quaisquer conjuntos
e
. Em caso afirmativo, prove. Em caso negativo, dê um contraexemplo.
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede que decidamos se a sentença abaixo é verdadeira para quaisquer conjuntos
e
:
Informações dadas:
- A hipótese é que
. - A conclusão a verificar é que
.
Observação: a presença do conjuntono enunciado é irrelevante — a sentença fala só de e .
Passo 2
Vou lembrar, com calma, o que significam as notações envolvidas (isso ajuda na prova).
-
significa o complemento de em relação a um universo fixo . Ou seja, . - A interseção
é o conjunto dos elementos que estão simultaneamente em e em . -
é o conjunto vazio: não contém elemento algum. - A relação
significa: para todo elemento , se então .
Passo 3
Estratégia de prova: mostrar que qualquer elemento arbitrário de
pertence a
. Essa é a definição direta de
. Vou trabalhar com um elemento genérico
e usar a hipótese
.
Passo 4
Prova direta (por contradição simples, muito usada em provas de conjunto):
- Seja
um elemento arbitrário tal que . - Suponha, para buscar contradição, que
. - Se
então, pela definição de complemento, . - Como
e , segue que . - Mas a hipótese diz que
, ou seja, não existe elemento em . Isso contradiz a afirmação anterior de que . - Logo a suposição
é falsa; portanto .
Como
era um elemento arbitrário de
, concluímos que todo elemento de
está em
. Portanto
.
Passo 5
Complemento: mostrar a identidade útil que reforça a intuição e é frequente em provas:
Assim a hipótese
é equivalente a
, e uma outra forma habitual de dizer que
é exatamente
. Isso confirma que a implicação é verdadeira e, na verdade, que as duas condições são equivalentes.
Resposta
Verdadeiro.