Em cada um dos casos decida se a sentença é verdadeira para quaisquer conjuntos A, B e C. Em caso afirmativo, prove. Em caso negativo, dê um contraexemplo.
Se A \cap \bar{B}=\emptyset, então A \subseteq B.

Passo 1

O enunciado pede que decidamos se a sentença abaixo é verdadeira para quaisquer conjuntos A,B e C:
\text{Se }A\cap\bar{B}=\emptyset\text{, então }A\subseteq B.ã
Informações dadas:
  • A hipótese é que \,A\cap\bar{B}=\emptyset.
  • A conclusão a verificar é que \,A\subseteq B.
    Observação: a presença do conjunto C no enunciado é irrelevante — a sentença fala só de A e B.

Passo 2

Vou lembrar, com calma, o que significam as notações envolvidas (isso ajuda na prova).
  • \bar{B} significa o complemento de B em relação a um universo fixo U. Ou seja, \bar{B}=\{x\in U \mid x\notin B\}.
  • A interseção A\cap\bar{B} é o conjunto dos elementos que estão simultaneamente em A e em \bar{B}.
  • \emptyset é o conjunto vazio: não contém elemento algum.
  • A relação A\subseteq B significa: para todo elemento x, se x\in A então x\in B.

Passo 3

Estratégia de prova: mostrar que qualquer elemento arbitrário de A pertence a B. Essa é a definição direta de A\subseteq B. Vou trabalhar com um elemento genérico x\in A e usar a hipótese \,A\cap\bar{B}=\emptyset.

Passo 4

Prova direta (por contradição simples, muito usada em provas de conjunto):
  • Seja x um elemento arbitrário tal que x\in A.
  • Suponha, para buscar contradição, que x\notin B.
  • Se x\notin B então, pela definição de complemento, x\in\bar{B}.
  • Como x\in A e x\in\bar{B}, segue que x\in A\cap\bar{B}.
  • Mas a hipótese diz que A\cap\bar{B}=\emptyset, ou seja, não existe elemento em A\cap\bar{B}. Isso contradiz a afirmação anterior de que x\in A\cap\bar{B}.
  • Logo a suposição x\notin B é falsa; portanto x\in B.
Como x\in A era um elemento arbitrário de A, concluímos que todo elemento de A está em B. Portanto A\subseteq B.

Passo 5

Complemento: mostrar a identidade útil que reforça a intuição e é frequente em provas:
A\setminus B = A\cap\bar{B}.
Assim a hipótese A\cap\bar{B}=\emptyset é equivalente a A\setminus B=\emptyset, e uma outra forma habitual de dizer que A\setminus B=\emptyset é exatamente A\subseteq B. Isso confirma que a implicação é verdadeira e, na verdade, que as duas condições são equivalentes.

Resposta

Verdadeiro.

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