Calcule a área entre as funções f(x)=\frac{1}{x^{2}} e g(x)=\frac{1}{x^{3}} no intervalo [1,2] :
(a) \frac{1}{6}
(b) \frac{1}{7}
(c) \frac{1}{8}
(d) \frac{1}{9}

Passo 1

O enunciado nos dá as funções e o intervalo a considerar. Dados fornecidos:
  • f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.
  • g(x)=\dfrac{1}{x^{3}}.
  • Intervalo: [1,2].
O que se pede:
  • Calcular a área entre as curvas f e g no intervalo [1,2]. Em outras palavras, encontrar a área delimitada pelos dois gráficos e pelas retas verticais x=1 e x=2.

Passo 2

Precisamos saber qual função está por cima (maior) no intervalo, porque a área entre curvas é obtida integrando a diferença (função superior menos função inferior). Vamos comparar f e g para x\in[1,2]:
f(x)-g(x)=\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}=\frac{x-1}{x^{3}}.
Para x\in[1,2] temos x-1\ge0 e x^{3}>0, logo \dfrac{x-1}{x^{3}}\ge0. Portanto f(x)\ge g(x) em todo o intervalo. Conclusão: f é a curva superior e g a inferior em [1,2].

Passo 3

Fórmula do que vamos calcular (razão e interpretação): a área entre duas curvas y=u(x) (superior) e y=v(x) (inferior) no intervalo [a,b] é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(u(x)-v(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui u(x)=f(x), v(x)=g(x), a=1, b=2. A ideia por trás: dividir a região em tiras verticais de largura dx; a altura de cada tira é u(x)-v(x); somando (integrando) obtemos a área.

Passo 4

Montando o integral para este caso:
\text{Área}=\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}\right)\,dx.Á

Passo 5

Vamos integrar termo a termo usando a regra do poder para integração: para n\neq-1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Ela vale também para expoentes negativos (exceto -1). Aplicando para x^{-2} e x^{-3}:
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}+C, \qquad \int x^{-3}\,dx=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2x^{2}}+C.

Passo 6

Obtemos uma primitiva da integranda:
F(x)=-\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^{2}}.
Agora avaliamos o integral definido:
\text{Área}=F(2)-F(1).Á
Calcule F(2) e F(1):
F(2)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=-\frac{4}{8}+\frac{1}{8}=-\frac{3}{8},
F(1)=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}=-\frac{4}{8}.
Então
\text{Área}=F(2)-F(1)=-\frac{3}{8}-\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{8}+\frac{1}{2}=-\frac{3}{8}+\frac{4}{8}=\frac{1}{8}.Á

Passo 7

Interpretação final e checagem: o valor obtido é positivo e está entre as opções. Portanto a área entre as curvas no intervalo [1,2] é \dfrac{1}{8}, que corresponde à alternativa (c).

Resposta

(c) \dfrac{1}{8}

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