Calcule a área entre as funções
e
no intervalo
:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado nos dá as funções e o intervalo a considerar. Dados fornecidos:
-
. -
. - Intervalo:
.
O que se pede:
- Calcular a área entre as curvas
e no intervalo . Em outras palavras, encontrar a área delimitada pelos dois gráficos e pelas retas verticais e .
Passo 2
Precisamos saber qual função está por cima (maior) no intervalo, porque a área entre curvas é obtida integrando a diferença (função superior menos função inferior). Vamos comparar
e
para
:
Para
temos
e
, logo
. Portanto
em todo o intervalo. Conclusão:
é a curva superior e
a inferior em
.
Passo 3
Fórmula do que vamos calcular (razão e interpretação): a área entre duas curvas
(superior) e
(inferior) no intervalo
é
Aqui
,
,
,
. A ideia por trás: dividir a região em tiras verticais de largura
; a altura de cada tira é
; somando (integrando) obtemos a área.
Passo 4
Montando o integral para este caso:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo usando a regra do poder para integração: para
,
Ela vale também para expoentes negativos (exceto
). Aplicando para
e
:
Passo 6
Obtemos uma primitiva da integranda:
Agora avaliamos o integral definido:
Calcule
e
:
Então
Passo 7
Interpretação final e checagem: o valor obtido é positivo e está entre as opções. Portanto a área entre as curvas no intervalo
é
, que corresponde à alternativa (c).
Resposta
(c)