Classifique em verdadeira ou falsa:
\int_{0}^{257}\left(x^{7}+x^{5}+x^{3}\right) d x=-\int_{-257}^{0}\left(x^{7}+x^{5}+x^{3}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: classificar em verdadeira ou falsa a igualdade
\int_{0}^{257}\left(x^{7}+x^{5}+x^{3}\right)\,dx=-\int_{-257}^{0}\left(x^{7}+x^{5}+x^{3}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é f(x)=x^{7}+x^{5}+x^{3}.
  • Os limites de integração são simétricos em torno de zero: intervalo [-257,257], e os integrals pedem os trechos [0,257] e [-257,0].
  • Precisa-se decidir se a igualdade é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeira observação importante (definição e verificação): vamos ver como a função se comporta quando trocamos x por -x.
Definição rápida: uma função f é ímpar se, para todo x, vale f(-x)=-f(x).
Calculemos
f(-x)=(-x)^{7}+(-x)^{5}+(-x)^{3} = -x^{7}-x^{5}-x^{3} = -\bigl(x^{7}+x^{5}+x^{3}\bigr) = -f(x).
Portanto f satisfaz f(-x)=-f(x); em palavras, f é uma função ímpar.

Passo 3

Propriedade integral importante (explicada passo a passo): para qualquer função integrável ímpar f e qualquer a>0 vale
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.
Demonstração curta e didática: escrevendo a integral completa como soma das metades,
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{-a}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Na integral do primeiro termo faça a mudança de variável u=-x. Quando x vai de -a até 0, u vai de a até 0, e dx=-du. Assim
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{a}^{0} f(-u)\,(-du) = \int_{0}^{a} f(-u)\,du.
Como f é ímpar, f(-u)=-f(u). Então
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} -f(u)\,du = -\int_{0}^{a} f(u)\,du.
Voltando à soma,
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = -\int_{0}^{a} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx = 0.
Da última igualdade também segue direto que
\int_{0}^{a} f(x)\,dx = -\int_{-a}^{0} f(x)\,dx,
que é exatamente a forma usada no enunciado.

Passo 4

Aplicando o resultado ao caso concreto: aqui a=257 e f é ímpar (Passo 2), logo
\int_{0}^{257}\left(x^{7}+x^{5}+x^{3}\right)\,dx = -\int_{-257}^{0}\left(x^{7}+x^{5}+x^{3}\right)\,dx.
Portanto a igualdade do enunciado é verdadeira. Intuição: a área algébrica positiva do lado direito de zero é igual em magnitude e oposta em sinal à área algébrica do lado esquerdo, porque o gráfico é espelho ímpar.

Passo 5

Verificação alternativa (calcular primitiva) para confirmar: uma primitiva de f é
F(x)=\frac{x^{8}}{8}+\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{4}}{4}.
Então
\int_{0}^{257} f(x)\,dx = F(257)-F(0)=F(257),
pois F(0)=0. E
\int_{-257}^{0} f(x)\,dx = F(0)-F(-257) = -F(-257).
Como F(x) envolve apenas potências pares, F(-257)=F(257). Logo
\int_{-257}^{0} f(x)\,dx = -F(257).
Tomando negativo desse valor obtém-se F(257), que coincide com \int_{0}^{257} f(x)\,dx. Isso confirma a igualdade.

Resposta

Verdadeira

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