Classifique em verdadeira ou falsa:
Passo 1
O que o enunciado pede: classificar em verdadeira ou falsa a igualdade
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são simétricos em torno de zero: intervalo
, e os integrals pedem os trechos e . - Precisa-se decidir se a igualdade é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeira observação importante (definição e verificação): vamos ver como a função se comporta quando trocamos
por
.
Definição rápida: uma função é ímpar se, para todo
, vale
.
Calculemos
Definição rápida: uma função
Calculemos
Portanto
satisfaz
; em palavras,
é uma função ímpar.
Passo 3
Propriedade integral importante (explicada passo a passo): para qualquer função integrável ímpar
e qualquer
vale
Demonstração curta e didática: escrevendo a integral completa como soma das metades,
Na integral do primeiro termo faça a mudança de variável
. Quando
vai de
até
,
vai de
até
, e
. Assim
Como
é ímpar,
. Então
Voltando à soma,
Da última igualdade também segue direto que
que é exatamente a forma usada no enunciado.
Passo 4
Aplicando o resultado ao caso concreto: aqui
e
é ímpar (Passo 2), logo
Portanto a igualdade do enunciado é verdadeira. Intuição: a área algébrica positiva do lado direito de zero é igual em magnitude e oposta em sinal à área algébrica do lado esquerdo, porque o gráfico é espelho ímpar.
Passo 5
Verificação alternativa (calcular primitiva) para confirmar: uma primitiva de
é
Então
pois
. E
Como
envolve apenas potências pares,
. Logo
Tomando negativo desse valor obtém-se
, que coincide com
. Isso confirma a igualdade.
Resposta
Verdadeira