Em cada um dos casos, determine o menor número de geradores para subespaço U=[S].
S=\left\{1+t^{2}, 1+t, 1+2 t^{2}, 2\right\} \quad em \quad \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede o menor número de geradores de \;U=[S]\subset\mathscr P_2(\mathbb R),
onde
S=\{\,1+t^2,\;1+t,\;1+2t^2,\;2\}.
Isto equivale a encontrar a dimensão de U. Para isso, vamos representar cada polinômio na base padrão \{1,t,t^2\} e determinar o posto do sistema de vetores obtido.

Passo 2

Associamos a cada polinômio p(t)=a+bt+ct^2 o vetor coluna \bigl[a,b,c\bigr]^{T}. Assim:
p_1=1+t^2\longmapsto \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, \quad p_2=1+t\longmapsto \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},
p_3=1+2t^2\longmapsto \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}, \quad p_4=2\longmapsto \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores e aplicamos eliminação de Gauss para achar o posto:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Fazendo R_3\leftarrow R_3-R_1 e seguindo a eliminação, obtemos três pivôs não nulos (um em cada linha), logo \mathrm{rank}(A)=3.

Passo 4

Como o posto da matriz é 3, concluímos que \dim U=3. Em \mathscr P_2(\mathbb R) a dimensão máxima é 3, então exatamente três polinômios de S formam uma base de U.

Resposta

O menor número de geradores de U é 3.

Exercícios relacionados