Em \mathbb{R}^{3} considere as bases ordenadas \mathscr{B}=\{(1,1,1), \quad(0,2,3), \quad(0,2,-1)\} e \mathscr{B}^{\prime}=\{(1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1)\}.
Encontre as coordenadas
u]_{\mathscr{B}} \mathrm{e}[u]_{\mathscr{B}^{\prime}}\) para \(u=(3,5,-2)\).

Passo 1

O enunciado dá o vetor u=(3,5,-2) em \mathbb{R}^3 e duas bases ordenadas \mathscr{B}=\{(1,1,1),\,(0,2,3),\,(0,2,-1)\} e \mathscr{B}'=\{(1,1,0),\,(1,-1,0),\,(0,0,1)\}.
O objetivo é achar as coordenadas de u nessas bases, ou seja, resolver dois sistemas lineares para expressar u como combinação linear dos vetores de cada base.

Passo 2

Para encontrar [u]_{\mathscr{B}}\), escrevemos \[u = x\,(1,1,1) + y\,(0,2,3) + z\,(0,2,-1).
Isso gera o sistema de equações
\begin{cases} x = 3,\\\ x + 2y + 2z = 5,\\\ x + 3y - z = -2. \end{cases}
Como x=3\], substituímos nas outras duas: \[\begin{cases} 2y + 2z = 5 - 3 = 2 \;\Rightarrow\; y + z = 1,\\\\ 3y - z = -2 - 3 = -5. \end{cases}\] Da primeira \(z = 1 - y. Substituindo na segunda:
3y - (1 - y) = -5 \quad\Rightarrow\quad 4y = -4 \quad\Rightarrow\quad y = -1,
z = 1 - (-1) = 2.
Logo
[u]_{\mathscr{B}} = (x,y,z) = (3,-1,2).

Passo 3

Para encontrar [u]_{\mathscr{B}'}\), escrevemos \[u = x'\,(1,1,0) + y'\,(1,-1,0) + z'\,(0,0,1).
Isso dá
(x'+y',\,x'-y',\,z') = (3,5,-2),
isto é,
\begin{cases} x' + y' = 3,\\\ x' - y' = 5,\\\ z' = -2. \end{cases}
Somando as duas primeiras equações:
2x' = 8 \quad\Rightarrow\quad x' = 4,
de onde y' = 3 - x' = -1\]. E já temos \(z'=-2. Portanto
[u]_{\mathscr{B}'} = (x',y',z') = (4,-1,-2).

Resposta

[u]_{\mathscr{B}} = (3,-1,2) [u]_{\mathscr{B}'} = (4,-1,-2)

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