Considere \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}), com n \geq 2, conjunto dos polinômios de grau \leq n reunido com o polinômio nulo. Verifique em cada um dos casos se W é um subespaço de \left(\mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}),+, \cdot\right) é espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
W=\left\{p(t) \in \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}) ; 0\right. é raíz de \left.p(t)\right\};

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço vetorial \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}) (polinômios de grau \le n) e o subconjunto
W = \bigl\{\,p(t)\in\mathscr{P}_{n}(\mathbb{R})\mid 0\text{ é raiz de }p(t)\bigr\},é
ou seja, p(0)=0. Para verificar que W é subespaço vetorial, usamos o critério padrão:
  1. W\neq\varnothing.
  2. Fechamento em relação à soma.
  3. Fechamento em relação à multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que o polinômio nulo p(t)=0 pertence a W, pois
p(0)=0.
Logo, W não é vazio.

Passo 3

Sejam p,q\in W. Então p(0)=0 e q(0)=0. Considere o polinômio soma (p+q)(t). Temos
(p+q)(0)=p(0)+q(0)=0+0=0,
portanto p+q\in W. Assim, W é fechado sob adição.

Passo 4

Seja p\in W e \alpha\in\mathbb{R}. Como p(0)=0, para o polinômio \alpha p vale
(\alpha p)(0)=\alpha\cdot p(0)=\alpha\cdot 0=0,
logo \alpha p\in W. Assim, W é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

Sim. W é um subespaço de \bigl(\mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}),+,\cdot\bigr).

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