Considere \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}), com n \geq 2, conjunto dos polinômios de grau \leq n reunido com o polinômio nulo. Verifique em cada um dos casos se W é um subespaço de \left(\mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}),+, \cdot\right) é espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
W=\left\{p(t) \in \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}) ; p(t)\right. é o polinômio nulo ou p(t) tem grau ímpar \};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W=\{\,p(t)\in \mathscr P_n(\mathbb R)\mid p(t)=0\text{ ou }\deg p\text{ é ímpar}\}éí
é subespaço de \bigl(\mathscr P_n(\mathbb R),+,\,\cdot\bigr). Vamos usar os critérios de subespaço:
  1. W\neq\emptyset.
  2. Fechamento em soma.
  3. Fechamento em multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que o polinômio nulo pertence a W por definição. Logo W\neq\emptyset.

Passo 3

Multiplicação escalar: se p(t)\in W tem grau ímpar ou é nulo, então para qualquer \lambda\in\mathbb R:
  • Se \lambda=0, \lambda p(t)=0\in W.
  • Se \lambda\neq0, \deg(\lambda p)=\deg p, que é ímpar.
    Portanto W é fechado em multiplicação por escalar.

Passo 4

Soma: tomemos
p(t)=t^3+1,\quad q(t)=-\,t^3+1.
Aqui \deg p=3 e \deg q=3, ambos ímpares, logo p,q\in W. Mas
p(t)+q(t)=(t^3+1)+(-t^3+1)=2,
que é um polinômio constante não-nulo de grau 0 (par), e portanto não está em W.

Passo 5

Como existe par p,q\in W cuja soma não pertence a W, W não é fechado sob adição.

Resposta

W não é subespaço de \mathscr P_n(\mathbb R).

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