Considere
, com
, conjunto dos polinômios de grau
reunido com o polinômio nulo. Verifique em cada um dos casos se
é um subespaço de
é espaço vetorial sobre
.
é o polinômio nulo ou
tem grau ímpar
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é subespaço de
. Vamos usar os critérios de subespaço:
-
. - Fechamento em soma.
- Fechamento em multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos que o polinômio nulo pertence a
por definição. Logo
.
Passo 3
Multiplicação escalar: se
tem grau ímpar ou é nulo, então para qualquer
:
- Se
, . - Se
, , que é ímpar.
Portantoé fechado em multiplicação por escalar.
Passo 4
Soma: tomemos
Aqui
e
, ambos ímpares, logo
. Mas
que é um polinômio constante não-nulo de grau
(par), e portanto não está em
.
Passo 5
Como existe par
cuja soma não pertence a
,
não é fechado sob adição.