Em cada um dos casos, faça um esboço das extensões pares e ímpares das funções listadas e determine suas séries de Fourier de senos e cossenos.
Passo 1
A questão dá a função em e pede: (i) esboçar as extensões par e ímpar sobre e (ii) obter as séries de Fourier em cossenos (extensão par) e em senos (extensão ímpar). Vamos usar teoria de séries de Fourier num intervalo , com fórmulas de coeficientes para série de cossenos e de senos.
Passo 2
Para fazer o esboço da extensão par, definimos
Isso dá uma curva exponencial que cresce de até , simétrica em relação ao eixo .
A série de Fourier em cossenos (extensão par) é
com
Calculemos primeiro
Usamos a fórmula . Logo
Assim,
an=2,In=21+n^2l[e^pi(-1)^n-1r]
Para a0, temos
a0=2piintegral0^pi pi e^x,dx=2integral0^pi e^x,dx=2(e^pi-1)
o que é antissimétrico em relação à origem. O esboço mostra crescimento exponencial em (0,pi) e simetria ímpar.
A série de Fourier em senos (extensão ímpar) é
frm imp(x)sim sumn=1^infty bnsin(nx),
com
bn=2piintegral0^pi pi e^xsin(nx),dx=2integral0^pi e^xsin(nx),dx
Chamemos
Jn=integral0^pi e^xsin(nx),dx
Usamos integral e^xsin(nx)dx=e^x1+n^2[sin(nx)-ncos(nx)]. Logo