Em cada um dos casos, faça um esboço das extensões pares e ímpares das funções listadas e determine suas séries de Fourier de senos e cossenos.
f(x)=pi e^x, 0

Passo 1

A questão dá a função f(x)=pi e^x em 0 e pede: (i) esboçar as extensões par e ímpar sobre [-pi,pi] e (ii) obter as séries de Fourier em cossenos (extensão par) e em senos (extensão ímpar). Vamos usar teoria de séries de Fourier num intervalo [0,pi], com fórmulas de coeficientes para série de cossenos e de senos.

Passo 2

Para fazer o esboço da extensão par, definimos
frm par(x)=f(|x|)=pi e^|x|, -pi<= x<=pi
Isso dá uma curva exponencial que cresce de x=0 até x=pmpi, simétrica em relação ao eixo y.
A série de Fourier em cossenos (extensão par) é
frm par(x)sim a02+sumn=1^infty ancos(nx),
com
an=2piintegral0^pi f(x)cos(nx),dx=2piintegral0^pi pi e^xcos(nx),dx=2integral0^pi e^xcos(nx),dx
Calculemos primeiro
In=integral0^pi e^xcos(nx),dx
Usamos a fórmula integral e^xcos(nx)dx=e^x1+n^2[cos(nx)+nsin(nx)]. Logo
In=e^x1+n^2l(cos(nx)+nsin(nx)r)|0^pi =11+n^2l[e^pi(-1)^n-1r]
Assim,
an=2,In=21+n^2l[e^pi(-1)^n-1r]
Para a0, temos
a0=2piintegral0^pi pi e^x,dx=2integral0^pi e^x,dx=2(e^pi-1)
Portanto a série de cossenos é
frm par(x)= (e^pi-1)+sumn=1^infty 2l(e^pi(-1)^n-1r)1+n^2cos(nx)

Passo 3

Para a extensão ímpar, definimos
frm imp(x)=pi e^x,&0
o que é antissimétrico em relação à origem. O esboço mostra crescimento exponencial em (0,pi) e simetria ímpar.
A série de Fourier em senos (extensão ímpar) é
frm imp(x)sim sumn=1^infty bnsin(nx),
com
bn=2piintegral0^pi pi e^xsin(nx),dx=2integral0^pi e^xsin(nx),dx
Chamemos
Jn=integral0^pi e^xsin(nx),dx
Usamos integral e^xsin(nx)dx=e^x1+n^2[sin(nx)-ncos(nx)]. Logo
Jn=e^x1+n^2l(sin(nx)-ncos(nx)r)|0^pi =11+n^2l[-n e^pi(-1)^n +nr]
Então
bn=2,Jn=2n1+n^2l[1-e^pi(-1)^nr]
A série de senos fica
frm imp(x)=sumn=1^infty 2nl(1-e^pi(-1)^nr)1+n^2sin(nx)

Passo 4

Resumo dos resultados: temos o esboço de ambas as extensões e as fórmulas fechadas para an e bn.

Resposta

Extensão par (série em cossenos):
frm par(x)=(e^pi-1)+sumn=1^infty 2l(e^pi(-1)^n-1r)1+n^2cos(nx)
Extensão ímpar (série em senos):
frm imp(x)=sumn=1^infty 2nl(1-e^pi(-1)^nr)1+n^2sin(nx)

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