a equação da reta tangente ao gráfico
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = x^{5} $ no ponto onde $ x = 1 $. Isso está relacionado ao estudo de derivadas na matemática, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ f(1) $. Substituindo $ x $ por 1 na função:
Então, o ponto de tangência é $ (1, 1) $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = x^{5} $ para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 1 $. A derivada de $ x^{n} $ é $ n \cdot x^{n-1} $, então:
Substituindo $ x = 1 $:
Portanto, a inclinação da reta tangente é 5.
Passo 4
Com a inclinação e o ponto de tangência, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde $ m $ é a inclinação e $ (x_{1}, y_{1}) $ é o ponto. Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de $ f(x) = x^{5} $ no ponto $ x = 1 $ é: