Em cada um dos casos a seguir determine a equação reduzida da cônica, os seus elementos, e faça um esboço do gráfico:
y^2-x^2-2 x-4 y+2=0

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
y^2-x^2-2x-4y+2=0
e pede (1) a forma reduzida, (2) os elementos (centro, vértices, focos, excentricidade, assíntotas) e (3) um esboço do gráfico. O conteúdo aqui é identificação de cônicas e técnica de completar quadrados para pôr a equação na forma padrão.

Passo 2

Vamos agrupar os termos em x e em y:
y^2-4y ;-;(x^2+2x);+;2;=;0

Passo 3

Agora completamos quadrados em y e em x.
Para y:
y^2-4y = (y-2)^2-4
Para x:
-(x^2+2x) = -l[(x+1)^2-1r] = - (x+1)^2 +1
Substituindo na equação original:
(y-2)^2-4 ;-;(x+1)^2+1 ;+;2 ;=;0
implies (y-2)^2 - (x+1)^2 -4+1+2 = 0
implies (y-2)^2 - (x+1)^2 = 1

Passo 4

A forma
(y-2)^21 ;-;(x+1)^21 = 1
é a equação reduzida de uma hipérbole com eixo transverso vertical (porque o termo positivo é o de y).

Passo 5

Da forma padrão (y-k)^2a^2-(x-h)^2b^2=1 vemos que:
Centro C=(h,k)=(-1,2),
a^2=1implies a=1,
b^2=1implies b=1.
Os vértices estão no eixo vertical do centro:
V1=(-1,,2+a)=(-1,,3), V2=(-1,,2-a)=(-1,,1)

Passo 6

Para a hipérbole, c^2=a^2+b^2=1+1=2, logo c=raiz2.
Os focos ficam também ao longo do eixo vertical:
F1=(-1,,2+raiz2), F2=(-1,,2-raiz2)
A excentricidade é
e=ca=raiz2

Passo 7

As assíntotas de uma hipérbole nessa posição são
y-2 = pmab(x+1)
Como a=b=1,
boxedy-2 = x+1eboxedy-2 = -(x+1)

Passo 8

Esboço do gráfico:
  • Centro em (-1,2).
  • Ramos abertos para cima e para baixo ao longo da reta x=-1.
  • Vértices em (-1,3) e (-1,1).
  • Assíntotas cruzando o centro com inclinações +1 e -1.

Resposta

Equação reduzida:
(y-2)^21 ;-;(x+1)^21 = 1
Elementos:
Centro C=(-1,2)
Vértices V1=(-1,3),;V2=(-1,1)
Focos F1=(-1,2+raiz2),;F2=(-1,2-raiz2)
Excentricidade e=raiz2
Assíntotas
y-2 = x+1 e y-2 = -(x+1)

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