Em cada um dos casos a seguir determine a equação reduzida da cônica, os seus elementos, e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica
e pede (1) a forma reduzida, (2) os elementos (centro, vértices, focos, excentricidade, assíntotas) e (3) um esboço do gráfico. O conteúdo aqui é identificação de cônicas e técnica de completar quadrados para pôr a equação na forma padrão.
Passo 2
Vamos agrupar os termos em
e em
:
Passo 3
Agora completamos quadrados em
e em
.
Para
:
Para
:
Substituindo na equação original:
Passo 4
A forma
é a equação reduzida de uma hipérbole com eixo transverso vertical (porque o termo positivo é o de
).
Passo 5
Da forma padrão
vemos que:
Centro ,
,
.
Centro
Os vértices estão no eixo vertical do centro:
Passo 6
Para a hipérbole,
, logo
.
Os focos ficam também ao longo do eixo vertical:
Os focos ficam também ao longo do eixo vertical:
A excentricidade é
Passo 7
As assíntotas de uma hipérbole nessa posição são
Como
,
Passo 8
Esboço do gráfico:
- Centro em
. - Ramos abertos para cima e para baixo ao longo da reta
. - Vértices em
e . - Assíntotas cruzando o centro com inclinações
e .
Resposta
Equação reduzida:
Elementos:
Centro
Vértices
Focos
Excentricidade
Assíntotas
Centro
Vértices
Focos
Excentricidade
Assíntotas