Em cada um dos casos a seguir determine a equação reduzida da cônica, os seus elementos, os pontos em que cruza os eixos coordenados e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede a forma reduzida, seus elementos (centro, eixos, vértices, focos, assíntotas), os pontos onde cruza os eixos coordenados e um esboço do gráfico. Como o termo misto
é zero e o discriminante
, trata-se de uma hipérbole.
Passo 2
Vamos completar quadrados em
e
:
Escrevendo
substituímos:
logo
Dividindo por
e trocando de sinal:
Essa é a forma reduzida da hipérbole.
Passo 3
Dos parâmetros da forma
vemos que
e o centro é
Vértices (transversos no eixo
):
Distância focal
satisfaz
, logo
. Focos:
Assíntotas a partir de
:
Passo 4
Interceptos com os eixos:
- Eixo
: para ,
tem discriminante
, não há interseções reais.
- Eixo
: para ,
Pontos:
e
.
Passo 5
Esboço: hipérbole de centro em
, abertura para cima e para baixo, vértices em
e
, assíntotas passando por
com inclinações
. Ela não corta o eixo
e corta o
nos pontos dados acima.
Resposta
Equação reduzida:
Centro:
.
Parâmetros: ,
,
.
Vértices: e
.
Focos: .
Assíntotas: .
Interceptos: nenhuma interseção real com o eixo ; com o eixo
,
.
Esboço: hipérbole vertical centrada em , ramos apontando para cima e para baixo e assíntotas indicadas acima.
Parâmetros:
Vértices:
Focos:
Assíntotas:
Interceptos: nenhuma interseção real com o eixo
Esboço: hipérbole vertical centrada em