Em cada um dos casos a seguir determine a equação reduzida da cônica, os seus elementos, os pontos em que cruza os eixos coordenados e faça um esboço do gráfico:
4 x^{2}-9 y^{2}-16 x-18 y+43=0

Passo 1

O enunciado dá a cônica
4x^{2}-9y^{2}-16x-18y+43=0
e pede a forma reduzida, seus elementos (centro, eixos, vértices, focos, assíntotas), os pontos onde cruza os eixos coordenados e um esboço do gráfico. Como o termo misto xy é zero e o discriminante B^{2}-4AC=0^{2}-4\cdot4\cdot(-9)=144>0, trata-se de uma hipérbole.

Passo 2

Vamos completar quadrados em x e y:
4\bigl(x^{2}-4x\bigr)\;-\;9\bigl(y^{2}+2y\bigr)\;+\;43=0.
Escrevendo
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4, \quad y^{2}+2y = (y+1)^{2}-1,
substituímos:
4\bigl[(x-2)^{2}-4\bigr]\;-\;9\bigl[(y+1)^{2}-1\bigr]\;+\;43=0 \;\Longrightarrow\; 4(x-2)^{2}-16 -9(y+1)^{2}+9 +43=0,
logo
4(x-2)^{2}-9(y+1)^{2}+36=0 \;\Longrightarrow\; 4(x-2)^{2}-9(y+1)^{2}=-36.
Dividindo por -36 e trocando de sinal:
\frac{(y+1)^{2}}{4}\;-\;\frac{(x-2)^{2}}{9}=1.
Essa é a forma reduzida da hipérbole.

Passo 3

Dos parâmetros da forma
\frac{(y+1)^{2}}{a^{2}} - \frac{(x-2)^{2}}{b^{2}} = 1
vemos que
a^{2}=4\quad(a=2), \quad b^{2}=9\quad(b=3),
e o centro é
C=(2,\,-1).
Vértices (transversos no eixo y):
V_{1}=(2,\,-1+2)=(2,1), \quad V_{2}=(2,\,-1-2)=(2,-3).
Distância focal c satisfaz c^{2}=a^{2}+b^{2}=4+9=13, logo c=\sqrt{13}. Focos:
F_{1}=(2,\,-1+\sqrt{13}), \quad F_{2}=(2,\,-1-\sqrt{13}).
Assíntotas a partir de C:
y+1 = \pm\frac{a}{b}(x-2) \;\Longrightarrow\; y+1 = \pm\frac{2}{3}(x-2).

Passo 4

Interceptos com os eixos:
  • Eixo x: para y=0,
4x^{2}-16x+43=0
tem discriminante \Delta=-432<0, não há interseções reais.
  • Eixo y: para x=0,
-9y^{2}-18y+43=0 \;\Longrightarrow\; 9y^{2}+18y-43=0,
\Delta=18^{2}+4\cdot9\cdot43=1872=(12\sqrt{13})^{2}, então
y=\frac{-18\pm12\sqrt{13}}{18} =\frac{-3\pm2\sqrt{13}}{3}.
Pontos:
\bigl(0,\frac{-3+2\sqrt{13}}{3}\bigr) e
\bigl(0,\frac{-3-2\sqrt{13}}{3}\bigr).

Passo 5

Esboço: hipérbole de centro em (2,-1), abertura para cima e para baixo, vértices em (2,1) e (2,-3), assíntotas passando por (2,-1) com inclinações \pm\frac23. Ela não corta o eixo x e corta o y nos pontos dados acima.

Resposta

Equação reduzida:
\frac{(y+1)^{2}}{4}\;-\;\frac{(x-2)^{2}}{9}=1.
Centro: C=(2,-1).
Parâmetros: a=2, b=3, c=\sqrt{13}.
Vértices: (2,1) e (2,-3).
Focos: \bigl(2,-1\pm\sqrt{13}\bigr).
Assíntotas: y+1=\pm\tfrac{2}{3}(x-2).
Interceptos: nenhuma interseção real com o eixo x; com o eixo y,
\bigl(0,\tfrac{-3\pm2\sqrt{13}}{3}\bigr).
Esboço: hipérbole vertical centrada em (2,-1), ramos apontando para cima e para baixo e assíntotas indicadas acima.

Exercícios relacionados