Em cada um dos casos a seguir determine a equação reduzida da cônica, os seus elementos, os pontos em que cruza os eixos coordenados e faça um esboço do gráfico:
Uma parábola com concavidade para a esquerda, que cruza o eixo O X no valor x=2 e cruza o eixo O Y nos valores y=-3 e y=5.

Passo 1

O enunciado pede uma parábola com concavidade para a esquerda que intercepta o eixo OX em x=2 (ponto (2,0)) e o eixo OY em y=-3 e y=5 (pontos (0,-3) e (0,5)).
Conteúdo: parábola em posição horizontal, forma reduzida
x = a\,(y - k)^{2} + h
com vértice em (h,k) e parâmetro a.

Passo 2

Usamos as condicionais de interseção:
  1. Ao cruzar OX, y=0 e x=2:
a\,(0 - k)^{2} + h = 2 \quad\Longrightarrow\quad a\,k^{2} + h = 2.
  1. Ao cruzar OY, x=0 e y=-3:
a\,(-3 - k)^{2} + h = 0.
  1. Também em OY, x=0 e y=5:
a\,(5 - k)^{2} + h = 0.

Passo 3

Subtraindo as duas últimas equações:
a\bigl((5 - k)^{2} -(-3 - k)^{2}\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; (5-k)^{2}-(-3-k)^{2}=0 \;\Longrightarrow\; k=1.

Passo 4

Com k=1, da segunda equação:
a\,(-3 -1)^{2} + h = 0 \;\Longrightarrow\; 16a + h = 0 \;\Longrightarrow\; h = -16a.
Da primeira:
a\cdot1^{2} + h = 2 \;\Longrightarrow\; a -16a = 2 \;\Longrightarrow\; -15a = 2 \;\Longrightarrow\; a = -\tfrac{2}{15}, \quad h = -16\bigl(-\tfrac{2}{15}\bigr)=\tfrac{32}{15}.

Passo 5

A equação reduzida fica
x = -\tfrac{2}{15}\,(y - 1)^{2} + \tfrac{32}{15}.
Para a forma (y-k)^{2}=4p\,(x-h), escrevemos
(y - 1)^{2} = -\tfrac{15}{2}\,\bigl(x - \tfrac{32}{15}\bigr),
portanto
4p = -\tfrac{15}{2} \;\Longrightarrow\; p = -\tfrac{15}{8}.

Passo 6

Elementos da parábola:
Vértice: \bigl(h,k\bigr)=\bigl(\tfrac{32}{15},1\bigr)
Foco: \bigl(h+p,\,k\bigr)=\bigl(\tfrac{32}{15}-\tfrac{15}{8},\,1\bigr)=\bigl(\tfrac{31}{120},\,1\bigr)
Diretriz: x = h - p = \tfrac{32}{15} + \tfrac{15}{8} = \tfrac{481}{120}.
Eixo de simetria: reta y=1.

Passo 7

Pontos de interseção já confirmados:
(2,0) em OX,
(0,-3) e (0,5) em OY.
Esboço qualitativo:
– Vértice em \bigl(2{,}133,\,1\bigr), abre para a esquerda.
– Passa por (0,-3) e (0,5).
– Eixo de simetria horizontal y=1.

Resposta

Equação reduzida:
\boxed{x = -\tfrac{2}{15}\,(y - 1)^{2} + \tfrac{32}{15}}
Elementos:
– Vértice \bigl(\tfrac{32}{15},1\bigr)
– Foco \bigl(\tfrac{31}{120},1\bigr)
– Diretriz x = \tfrac{481}{120}
– Eixo de simetria y=1
Interceptos:
(2,0), (0,-3), (0,5).
Esboço: parábola horizontal, concavidade à esquerda, vértice em \bigl(2{,}133,1\bigr), passando pelos pontos acima.

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