Em cada um dos casos a seguir determine a equação reduzida da cônica, os seus elementos, os pontos em que cruza os eixos coordenados e faça um esboço do gráfico:
Uma elípse com excentricidade
, que possui o foco
e o vértice
localizados à direita do seu centro.
Uma elípse com excentricidade
Passo 1
O enunciado pede a equação reduzida de uma elipse cuja excentricidade é
, que tem um foco
e um vértice
situados à direita do centro. O conteúdo é geometria analítica de cônicas: para elipse usamos as constantes
(semi-eixo maior),
(semi-eixo menor),
(distância do centro a cada foco) e a relação
Passo 2
Como
e
têm a mesma ordenada
, o eixo maior é horizontal e o centro
satisfaz
. No sistema canônico temos
Passo 3
Das igualdades
subtraindo vem
Como
, temos
. Então
e
Passo 4
O semi-eixo menor
satisfaz
logo
.
Passo 5
A equação reduzida, centrada em
com eixo maior horizontal é
Passo 6
Elementos principais:
1. Centro .
2. Semi-eixos ,
,
.
3. Vértices:
e
4. Focos:
e
5. Co-vértices:
e
1. Centro
2. Semi-eixos
3. Vértices:
4. Focos:
5. Co-vértices:
Passo 7
Interceptos com os eixos coordenados:
Para (eixo
)
Para
Logo cruza o eixo
em
.
Para (eixo
) não há solução real, pois
.
Para
Passo 8
Esboço: uma elipse horizontal centrada em
, com vértices em
e
, co-vértices em
e
, e foci em
,
; toca o eixo
em
.
Resposta
Equação reduzida:
Centro
,
,
,
.
Vértices ,
.
Focos ,
.
Co-vértices ,
.
Intercepto com eixo :
; não cruza eixo
.
Esboço conforme descrito.
Vértices
Focos
Co-vértices
Intercepto com eixo
Esboço conforme descrito.