Em cada um dos casos a seguir determine a equação reduzida da cônica, os seus elementos, os pontos em que cruza os eixos coordenados e faça um esboço do gráfico:
Uma elípse com excentricidade e=0,6, que possui o foco F_{1}(6,2) e o vértice A_{1}(7,2) localizados à direita do seu centro. e=\frac{c}{a}

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida de uma elipse cuja excentricidade é e=0,6, que tem um foco F_{1}(6,2) e um vértice A_{1}(7,2) situados à direita do centro. O conteúdo é geometria analítica de cônicas: para elipse usamos as constantes a (semi-eixo maior), b (semi-eixo menor), c (distância do centro a cada foco) e a relação
e = \frac{c}{a}\,.

Passo 2

Como F_{1} e A_{1} têm a mesma ordenada y=2, o eixo maior é horizontal e o centro C=(h,k) satisfaz k=2. No sistema canônico temos
F_{1}=(h+c,k)=(6,2),
A_{1}=(h+a,k)=(7,2)\,.

Passo 3

Das igualdades
h+c = 6,\quad h+a = 7
subtraindo vem
a - c = 1.
Como e=c/a=0,6, temos c=0,6\,a. Então
a - 0,6\,a = 1 \;\Longrightarrow\; 0,4\,a = 1 \;\Longrightarrow\; a = 2,5,
e
c = 0,6\cdot2,5 = 1,5,\quad h = 6 - c = 4,5,\quad k=2.

Passo 4

O semi-eixo menor b satisfaz
b^{2} = a^{2} - c^{2} = (2,5)^{2} - (1,5)^{2} = 6,25 - 2,25 = 4
logo b = 2.

Passo 5

A equação reduzida, centrada em (h,k)=(4,5,2) com eixo maior horizontal é
\frac{(x - 4,5)^{2}}{(2,5)^{2}} \;+\; \frac{(y - 2)^{2}}{2^{2}} \;=\;1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{(x-4,5)^{2}}{6,25} + \frac{(y-2)^{2}}{4} = 1.

Passo 6

Elementos principais:
1. Centro C=(4,5,2).
2. Semi-eixos a=2,5, b=2, c=1,5.
3. Vértices:
\,(h\pm a,k)= (4,5\pm2,5,2) \Rightarrow (7,2) e (2,2).
4. Focos:
\,(h\pm c,k)= (4,5\pm1,5,2) \Rightarrow (6,2) e (3,2).
5. Co-vértices:
\,(h,k\pm b)= (4,5,2\pm2) \Rightarrow (4,5,4) e (4,5,0).

Passo 7

Interceptos com os eixos coordenados:
Para y=0 (eixo x)
\frac{(x-4,5)^{2}}{6,25} + \frac{(0-2)^{2}}{4} = 1 \;\Longrightarrow\; \frac{(x-4,5)^{2}}{6,25} + 1 = 1 \;\Longrightarrow\; x = 4,5.
Logo cruza o eixo x em (4,5,0).
Para x=0 (eixo y) não há solução real, pois (0-4,5)^{2}/6,25>1.

Passo 8

Esboço: uma elipse horizontal centrada em (4,5,2), com vértices em (7,2) e (2,2), co-vértices em (4,5,4) e (4,5,0), e foci em (6,2), (3,2); toca o eixo x em (4,5,0).

Resposta

Equação reduzida:
\frac{(x-4,5)^{2}}{6,25} + \frac{(y-2)^{2}}{4} = 1.
Centro C=(4,5,2), a=2,5, b=2, c=1,5.
Vértices (7,2), (2,2).
Focos (6,2), (3,2).
Co-vértices (4,5,4), (4,5,0).
Intercepto com eixo x: (4,5,0); não cruza eixo y.
Esboço conforme descrito.

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