1 Traçar um ângulo de 70 graus e dividir em:
a Duas partes iguais
b Três partes iguais

Passo 1

O enunciado pede para traçar um ângulo de 70^\circ e depois dividi-lo em duas partes iguais (cada 35^\circ) e em três partes iguais (cada \tfrac{70^\circ}{3}\approx23^\circ20'). Vamos usar régua e compasso. Para (a) faremos a construção clássica do bissetor de ângulo; para (b) usaremos o fato de que em uma mesma circunferência cordas iguais subtendem arcos (e, portanto, ângulos centrais) iguais.

Passo 2

Traçar o ângulo de 70^\circ:
  1. Sobre uma folha, marque o ponto O.
  2. Desenhe um semirreta OA.
  3. Com o transferidor ou compassinho auxiliar, marque em torno de O um arco que corte OA e aponte um ponto B tal que \angle AOB=70^\circ.
(Ou, se quiser só régua e compasso: faça um arco de raio qualquer em O, marque em OA o ponto A e em OB o ponto B de modo que o arco entre eles seja o equivalente a 70^\circ – mas normalmente se usa transferidor neste passo.)

Passo 3

Divisão em duas partes iguais (bissetor):
  1. Com centro em O e raio maior que metade de AB, trace um arco que cruze os dois lados do ângulo em pontos P (sobre OA) e Q (sobre OB).
  2. Com centro em P e raio igual ao encontrado, trace um arco interno; repita a mesma medida em Q, de modo que esses dois arcos se cruzem num ponto R.
  3. Una O a R. A reta OR é a bissetriz de \angle AOB, dividindo-o em dois ângulos de 35^\circ.

Passo 4

Verificação rápida da bissetriz:
Como R está construído com arco de mesmo raio a partir de P e de Q, temos PR=QR. Pelo método padrão de bissetor, a reta OR divide \angle AOB exatamente ao meio, logo cada parte mede
\frac{70^\circ}{2}=35^\circ.

Passo 5

Divisão em três partes iguais (trissetor por cordas iguais):
  1. Com centro em O e raio qualquer, trace uma circunferência que corte OA em A_1 e OB em B_1.
  2. Una A_1 a B_1; esse segmento A_1B_1 é uma corda que subtende o ângulo de 70^\circ no centro O.
  3. Divida o segmento A_1B_1 em três partes iguais: para isso, trace uma semi-reta auxiliar em A_1, marque três distâncias iguais sobre ela com o compasso, una o último ponto a B_1 e trace paralelas (ou use método de semelhança) para encontrar nos pontos intermediários C_1 e D_1 de A_1B_1 as divisões A_1C_1=C_1D_1=D_1B_1.
  4. Una O a C_1 e a O a D_1.

Passo 6

Justificativa da trissecção:
Em uma mesma circunferência, cordas de mesmo comprimento subtendem arcos iguais e, consequentemente, produzindo ângulos centrais iguais. Como dividimos A_1B_1 em três cordas iguais, os ângulos
\angle A_1OC_1, \angle C_1OD_1 e \angle D_1OB_1 são iguais e somam 70^\circ. Portanto cada um mede
\frac{70^\circ}{3}\approx 23^\circ20'.

Resposta

(a) Cada parte tem 35^\circ.
(b) Cada parte tem \tfrac{70^\circ}{3}\approx23^\circ20'.

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