1 Traçar um ângulo de 70 graus e dividir em:
a Duas partes iguais
b Três partes iguais
a Duas partes iguais
b Três partes iguais
Passo 1
O enunciado pede para traçar um ângulo de
e depois dividi-lo em duas partes iguais (cada
) e em três partes iguais (cada
). Vamos usar régua e compasso. Para (a) faremos a construção clássica do bissetor de ângulo; para (b) usaremos o fato de que em uma mesma circunferência cordas iguais subtendem arcos (e, portanto, ângulos centrais) iguais.
Passo 2
Traçar o ângulo de
:
- Sobre uma folha, marque o ponto
. - Desenhe um semirreta
. - Com o transferidor ou compassinho auxiliar, marque em torno de
um arco que corte e aponte um ponto tal que .
(Ou, se quiser só régua e compasso: faça um arco de raio qualquer em
, marque em
o ponto
e em
o ponto
de modo que o arco entre eles seja o equivalente a
– mas normalmente se usa transferidor neste passo.)
Passo 3
Divisão em duas partes iguais (bissetor):
- Com centro em
e raio maior que metade de , trace um arco que cruze os dois lados do ângulo em pontos (sobre ) e (sobre ). - Com centro em
e raio igual ao encontrado, trace um arco interno; repita a mesma medida em , de modo que esses dois arcos se cruzem num ponto . - Una
a . A reta é a bissetriz de , dividindo-o em dois ângulos de .
Passo 4
Verificação rápida da bissetriz:
Como está construído com arco de mesmo raio a partir de
e de
, temos
. Pelo método padrão de bissetor, a reta
divide
exatamente ao meio, logo cada parte mede
Como
Passo 5
Divisão em três partes iguais (trissetor por cordas iguais):
- Com centro em
e raio qualquer, trace uma circunferência que corte em e em . - Una
a ; esse segmento é uma corda que subtende o ângulo de no centro . - Divida o segmento
em três partes iguais: para isso, trace uma semi-reta auxiliar em , marque três distâncias iguais sobre ela com o compasso, una o último ponto a e trace paralelas (ou use método de semelhança) para encontrar nos pontos intermediários e de as divisões . - Una
a e a a .
Passo 6
Justificativa da trissecção:
Em uma mesma circunferência, cordas de mesmo comprimento subtendem arcos iguais e, consequentemente, produzindo ângulos centrais iguais. Como dividimos em três cordas iguais, os ângulos
,
e
são iguais e somam
. Portanto cada um mede
Em uma mesma circunferência, cordas de mesmo comprimento subtendem arcos iguais e, consequentemente, produzindo ângulos centrais iguais. Como dividimos
Resposta
(a) Cada parte tem
.
(b) Cada parte tem .
(b) Cada parte tem