Em cada um dos casos a seguir, determine o limite l para o a dado, e prove que é o limite mostrando como encontrar um de tal que |f(x)-l| para todo x satisfazendo 0<|x-a|.
f(x)=x^2+5 x-2, a=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de f(x)=x^2+5x-2 quando \x→2\ e depois provar formalmente usando epsilon-delta, ou seja, para cada ε>0 encontrar δ>0 tal que 0<|x-2|<δ implique |f(x)-l|<ε.

Passo 2

Primeiro calculamos o valor do limite de forma direta:
l = 2^2 + 5 cdot 2 - 2 = 12

Passo 3

Para a prova epsilon-delta, consideramos a diferença |f(x)-l|:
|f(x)-12| = |x^2 + 5x - 2 - 12| = |x^2 + 5x -14| = |(x-2)(x+7)| = |x-2| cdot |x+7| Queremos tornar isso menor que ε.

Passo 4

Precisamos controlar o fator |x+7| impondo uma restrição extra sobre x. Escolhemos δ <= 1, de modo que 0<|x-2|<δ <= 1 implica |x-2|<1 e então xin(1,3). Assim
|x+7| <= max(|1+7|,|3+7|) = 10

Passo 5

Logo,
|f(x)-12| = |x-2| cdot |x+7| < |x-2| cdot 10

Passo 6

Para garantir |f(x)-12|<ε basta pedir 10|x-2|<ε, ou seja |x-2|<ε/10. Assim podemos escolher
δ = minl(1, tfracε10r)

Passo 7

Então, sempre que 0<|x-2|<δ temos |f(x)-12|<ε, completando a prova.

Resposta

12

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